《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

11. 可以用如下的方法估计方程$x^{2}+2x - 10 = 0$的根：
当$x = 2$时，$x^{2}+2x - 10 = - 2 ＜ 0$，
当$x = - 5$时，$x^{2}+2x - 10 = 5 ＞ 0$，
所以方程有一个根在$- 5$和$2$之间.
(1)仿照上面的方法，找到方程$x^{2}+2x - 10 = 0$的另一个根在哪两个连续整数之间；
(2)若方程$x^{2}+2x + c = 0$有一个根在$0$和$1$之间，求$c$的取值范围.

答案： 【解】
(1)
∵当$x = 2$时，$x^{2}+2x - 10 = -2＜0$，当$x = 3$时，$x^{2}+2x - 10 = 5＞0$，
∴方程的另一个根在2和3之间.
(2)
∵方程$x^{2}+2x + c = 0$有一个根在0和1之间，
∴$\begin{cases}0 + 0 + c＞0\\1 + 2 + c＜0\end{cases}$或$\begin{cases}0 + 0 + c＜0\\1 + 2 + c＞0\end{cases}$，解得$-3＜c＜0$.

12. 某大学为改善校园环境，计划在一块长$80\ m$，宽$60\ m$的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为$3500\ m^{2}$. 四周为宽度相等的人行道，如图，若设人行道的宽度为$x\ m$.
(1)请列出相应的方程.
(2)$x$的值可能小于$0$吗？说说你的理由.
(3)$x$的值可能大于$40$吗？可能大于$30$吗？说说你的理由.
(4)你知道人行道的宽度是多少吗？说说你的求解过程.

答案： 【解】
(1)由题意可知网球场的长和宽分别为$(80 - 2x)m$，$(60 - 2x)m$，则$(80 - 2x)(60 - 2x)=3500$，整理得$x^{2}-70x + 325 = 0$.
(2)$x$的值不可能小于0，理由：因为人行道的宽度不可能为负数.
(3)$x$的值不可能大于40，也不可能大于30.理由：
∵当$x＞30$时，$60 - 2x＜0$，这是不符合实际的.当然$x$更不可能大于40.
(4)人行道的宽度为5m.求解过程如下：
|$x$|1|2|3|4|5|6|7|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|$x^{2}-70x + 325$|256|189|124|61|0|-59|-116|
显然，当$x = 5$时，$x^{2}-70x + 325 = 0$，故人行道的宽度为5m.

13. [核心素养 抽象能力]有这样一道题：“一块矩形铁片，面积为$1$，长比宽多$3$，求铁片的长”，小贝是这样做的：设铁片的长为$x$，则列出的方程为$x(x - 3)=1$，整理，得$x^{2}-3x - 1 = 0$. 小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少. 下面是她的探索过程：
第一步：

所以_______$＜ x ＜$_______.
第二步：

所以_______$＜ x ＜$_______.
(1)请你帮小贝完成上述探索过程.
(2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少？十分位为多少？

答案： 【解】
(1)填表：$-1$；$3$；$-0.01$；$0.36$
填空：$3$；$4$；$3.3$；$3.4$
(2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3.