《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

15. 新视角 规律探究题 观察下列各式：①$2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$；②$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$；③$4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4+\frac{4}{15}}$；…；根据这些等式反映的规律，若$x\sqrt{\frac{2025}{y}}=\sqrt{x+\frac{2025}{y}}$，则$x^{2}-y=$________。

答案： 1 [点拨]由题意得,若$x\sqrt{\frac{2025}{y}}=\sqrt{x+\frac{2025}{y}}$,则$x = 2025,y = 2025^{2}-1$,$\therefore x^{2}-y = 2025^{2}-(2025^{2}-1)=1$.

16. 把下列各式化成最简二次根式：
（1）$\sqrt{4\frac{2}{3}}$； （2）$\sqrt{\frac{0.01\times81}{0.25\times144}}$；
（3）$\sqrt{\frac{5a^{5}}{6}}$； （4）$\frac{27}{5}\sqrt{\frac{13^{2}-12^{2}}{27}}$。

答案： [解]
(1)原式=$\sqrt{\frac{14}{3}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{42}}{3}$.
(2)原式=$\sqrt{\frac{81}{25\times144}}=\frac{9}{5\times12}=\frac{3}{20}$.
(3)原式=$\frac{a^{2}\sqrt{5a}}{\sqrt{6}}=\frac{a^{2}\sqrt{30a}}{6}$.
(4)原式=$\frac{27}{5}\times\frac{5}{3\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$.

17. 若最简二次根式$\sqrt[m - 1]{2n + 1}$与最简二次根式$\sqrt{4n - m}$相等，求$m + n$的值。

答案： [解]
∵最简二次根式$\sqrt[n - 1]{2n + 1}$与最简二次根式$\sqrt{4n - m}$相等,$\therefore n - 1 = 2,2n + 1 = 4n - m$,解得$n = 3,m = 5$.$\therefore m + n = 8$.

18. 核心素养 推理能力 观察下列等式：
第1个等式：$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$；
第2个等式：$\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}$；
第3个等式：$\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac{3}{4}$；…。
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第4个等式；
（2）请写出第$n$个等式（$n$是正整数，用含$n$的式子表示），并证明。

答案： [解]
(1)
∵第1个等式:$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{1-\frac{2\times1 + 1}{(1 + 1)^{2}}}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1 + 1}$,第2个等式:$\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{1-\frac{2\times2 + 1}{(2 + 1)^{2}}}=\frac{2}{3}=\frac{2}{2 + 1}$,第3个等式:$\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{1-\frac{2\times3 + 1}{(3 + 1)^{2}}}=\frac{3}{4}=\frac{3}{3 + 1}$,$\therefore$第4个等式为$\sqrt{1-\frac{2\times4 + 1}{(4 + 1)^{2}}}=\frac{4}{4 + 1}$,即$\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.
(2)第n个等式为$\sqrt{1-\frac{2n + 1}{(n + 1)^{2}}}=\frac{n}{n + 1}$.证明:
∵左边=$\sqrt{\frac{(n + 1)^{2}}{(n + 1)^{2}}-\frac{2n + 1}{(n + 1)^{2}}}=\sqrt{\frac{n^{2}+2n + 1-2n - 1}{(n + 1)^{2}}}=\sqrt{\frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}}}=\frac{n}{n + 1}$,$\therefore$左边 = 右边.$\therefore$等式成立.