《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

20. [2024·德州德城区月考] 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间$t$(s)和下落高度$h$(m)近似满足公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$（不考虑阻力的影响）.
(1)求物体从40 m的高空落到地面的时间.
(2)小明说物体从80 m的高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由.
(3)已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)$=10\times$物体质量(kg)$\times$下落高度(m)，某质量为0.05 kg的鸡蛋经过6 s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65 J的能量）

答案： 【解】
(1)由题意知h = 40m,
则t = $\sqrt{\frac{h}{5}}=\sqrt{\frac{40}{5}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}(s)$.
(2)不正确.理由如下:
当h = 80m时,t = $\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4(s)$.
∵4≠$2\times2\sqrt{2}$,
∴小明的说法不正确.
(3)当t = 6s时,6 = $\sqrt{\frac{h}{5}}$,
∴h = 180m.
∴这个鸡蛋在下落过程中所带能量=10×0.05×180 = 90(J).启示:严禁高空抛物.(答案不唯一)

21. 已知$m$，$n$在数轴上对应的点的位置如图所示，试化简$\sqrt{m^{2}}+\sqrt{n^{2}}+\sqrt{(m - n)^{2}}+\sqrt{(m - 1)^{2}}-\sqrt{(n - 1)^{2}}$.
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答案： 【解】由数轴可得-1 ＜ n ＜ 0,0 ＜ m ＜ 1,
∴m - n ＞ 0,m - 1 ＜ 0,n - 1 ＜ 0.
∴$\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2}+\sqrt{(m - n)^2}+\sqrt{(m - 1)^2}-\sqrt{(n - 1)^2}=m+( - n)+m - n+(1 - m)-(1 - n)=m - n+m - n+1 - m - 1 + n=m - n$.

22. 阅读下列解题过程：
若代数式$\sqrt{(a - 1)^{2}}+\sqrt{(a - 3)^{2}}$的值是2，求$a$的取值范围.
解：当$a\lt1$时，原式$=(1 - a)+(3 - a)=4 - 2a = 2$，解得$a = 1$(舍去)；
当$1\leqslant a\leqslant3$时，原式$=(a - 1)+(3 - a)=2$，符合题意；
当$a\gt3$时，原式$=(a - 1)+(a - 3)=2a - 4 = 2$，解得$a = 3$(舍去).
综上，$a$的取值范围是$1\leqslant a\leqslant3$.
上述解题过程主要运用了分类讨论思想，请你根据上述方法，解答下列问题：
(1)当$2\leqslant a\leqslant5$时，化简：$\sqrt{(a - 2)^{2}}+\sqrt{(a - 5)^{2}}=$________；
(2)若等式$\sqrt{(3 - a)^{2}}+\sqrt{(a - 7)^{2}}=4$成立，则$a$的取值范围是____________；
(3)若$\sqrt{(a + 1)^{2}}+\sqrt{(a - 5)^{2}}=8$，求$a$的值.

答案： 【解】
(1)3
(2)3≤a≤7
【点拨】当a ＜ 3时,3 - a ＞ 0,a - 7 ＜ 0,
∴原式可化为3 - a-(a - 7)=4,解得a = 3(舍去);
当3≤a≤7时,3 - a≤0,a - 7≤0,
∴原式可化为-(3 - a)-(a - 7)=4,符合题意;
当a ＞ 7时,3 - a ＜ 0,a - 7 ＞ 0,
∴原式可化为-(3 - a)+(a - 7)=4,解得a = 7(舍去).综上所述，a的取值范围是3≤a≤7.
(3)当a ＜ -1时,a + 1 ＜ 0,a - 5 ＜ 0,
∴原式可化为-a - 1-(a - 5)=8,解得a = -2,符合题意;
当-1≤a≤5时,a + 1≥0,a - 5≤0,
∴原式可化为(a + 1)-(a - 5)=8,此方程无解，
故-1≤a≤5不符合题意;
当a ＞ 5时,a + 1 ＞ 0,a - 5 ＞ 0,
∴原式可化为a + 1 + a - 5 = 8,解得a = 6,符合题意.
综上所述，a的值为-2或6.