《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

15. [2024·东营月考]一个三角形的三边长分别为$5\sqrt{\frac{x}{5}}$，$\frac{1}{2}\sqrt{20x}$，$\frac{5}{4}\sqrt{\frac{4x}{5}}$。
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长。

答案： 【解】
(1)因为一个三角形的三边长分别为$5\sqrt{\frac{x}{5}}$，$\frac{1}{2}\sqrt{20x}$，$4\sqrt{\frac{4x}{5}}$，所以这个三角形的周长是$5\sqrt{\frac{x}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20x}+4\sqrt{\frac{4x}{5}}=\sqrt{5x}+\sqrt{5x}+\frac{4\sqrt{5x}}{5}=\frac{14}{5}\sqrt{5x}$.
(2)当$x = 20$时，这个三角形的周长是$\frac{14}{5}\sqrt{5x}=\frac{14}{5}\sqrt{5\times20}=\frac{14}{5}\times10 = 28$.

16. 新考法 分类讨论法 是否存在整数$a$，$b$（$a ＜ b$），使其满足$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{1404}$？若存在，试求出$a$，$b$的值，若不存在，请说明理由。

答案： 【解】存在.$\because\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{1404}=6\sqrt{39}$，
$\therefore a$，$b$为非负整数.
又$\because a＜b$，
$\therefore$当$\sqrt{a}=0$，$\sqrt{b}=6\sqrt{39}$时，$a = 0$，$b = 1404$；
当$\sqrt{a}=\sqrt{39}$，$\sqrt{b}=5\sqrt{39}$时，$a = 39$，$b = 975$；
当$\sqrt{a}=2\sqrt{39}$，$\sqrt{b}=4\sqrt{39}$时，$a = 156$，$b = 624$.
综上所述，$a = 0$，$b = 1404$或$a = 39$，$b = 975$或$a = 156$，$b = 624$.

17. 新考法 阅读类比法 先阅读下面的材料，再解答问题.
设$a$，$b$都是有理数，且满足$a+\sqrt{2}b = 3 - 2\sqrt{2}$，求$b^{a}$的值.
解：由题意得$(a - 3)+(b + 2)\sqrt{2}=0$.
$\because a$，$b$都是有理数，
$\therefore a - 3$，$b + 2$也是有理数.
又$\because\sqrt{2}$是无理数，$\therefore a - 3 = 0$，$b + 2 = 0$.
$\therefore a = 3$，$b=-2$.$\therefore b^{a}=(-2)^{3}=-8$.
问题：设$x$，$y$都是有理数，且满足$x^{2}-2y+\sqrt{5}y = 8 + 4\sqrt{5}$，求$x + y$的值.

答案： 【解】由题意得$(x^{2}-2y - 8)+(y - 4)\sqrt{5}=0$.
$\because x$，$y$都是有理数，
$\therefore x^{2}-2y - 8$，$y - 4$也是有理数.
又$\because\sqrt{5}$是无理数，
$\therefore x^{2}-2y - 8 = 0$，$y - 4 = 0$，解得$x = ±4$，$y = 4$.
当$x = 4$，$y = 4$时，$x + y = 8$；
当$x = -4$，$y = 4$时，$x + y = 0$.
综上所述，$x + y$的值为$8$或$0$.

18. 已知$M=\frac{x + y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{2xy}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}$，$N=\frac{3\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x + y}+\sqrt{y - x}}$. 甲、乙两个同学在$y=\sqrt{x - 8}+\sqrt{8 - x}+18$的条件下分别计算了$M$和$N$的值. 甲说$M$的值比$N$的值大，乙说$N$的值比$M$的值大. 请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由.

答案： 【解】乙的结论正确.
理由：由$y=\sqrt{x - 8}+\sqrt{8 - x}+18$，可得$x = 8$，$y = 18$.
$\therefore M=x + y-2\sqrt{xy}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}=(\sqrt{8}-\sqrt{18})^{2}=(\ 2\sqrt{2}-3\sqrt{2})^{2}=(-\sqrt{2})^{2}=2$，
$N = 3\sqrt{8}-2\sqrt{18}=6\sqrt{2}-6\sqrt{2}=0$.
$\therefore M＞N$，即$M$的值比$N$大，这里原答案“$M＜N$”错误，应该是$M＞N$，所以乙的结论错误.