《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

14. 新考法 换元法 已知实数$x$满足$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2(x+\frac{1}{x})=0$，求$x+\frac{1}{x}$的值.

答案： 【解】将已知等式两边同时加上2，得$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2 + 2(x+\frac{1}{x}) = 2$，即$(x+\frac{1}{x})^{2}+2(x+\frac{1}{x}) = 2$.设$x+\frac{1}{x}=y$，则$(x+\frac{1}{x})^{2}+2(x+\frac{1}{x}) = 2$可化为$y^{2}+2y = 2$.配方，得$y^{2}+2y + 1 = 2 + 1$，$\therefore (y + 1)^{2}=3$.直接开平方，得$y + 1=\pm\sqrt{3}$.解得$y_{1}=\sqrt{3}-1$，$y_{2}=-\sqrt{3}-1$.即$x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}-1$或$x+\frac{1}{x}=-\sqrt{3}-1$.经检验，不存在实数$x$，使$x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}-1$，故舍去.$\therefore x+\frac{1}{x}=-\sqrt{3}-1$.
点技巧：本题在解答过程中应用了换元法和整体思想，即用$y$来代替$x+\frac{1}{x}$，将已知等式转化成一元二次方程求解.

15. 已知常数$a,b,c$是$\triangle ABC$的三条边长，且$a^{2}+b^{2}+c^{2}-6a - 8b - 10c + 50 = 0$.
(1)求$a,b,c$的值；
(2)判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 【解】
(1)由$a^{2}+b^{2}+c^{2}-6a - 8b - 10c + 50 = 0$，得$(a - 3)^{2}+(b - 4)^{2}+(c - 5)^{2}=0$. $\because (a - 3)^{2}\geqslant0$，$(b - 4)^{2}\geqslant0$，$(c - 5)^{2}\geqslant0$.$\therefore a - 3 = 0$，$b - 4 = 0$，$c - 5 = 0$，$\therefore a = 3$，$b = 4$，$c = 5$.
(2)$\because 3^{2}+4^{2}=5^{2}$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\therefore\triangle ABC$是直角三角形.

16. [2024·德州二模]如图，某农场有一块长为32 m，宽为12 m的长方形种植地，为方便管理，现准备沿平行于两边的方向纵、横各修一条等宽的小路，要使种植面积恰好为300 m²，则小路的宽应该为多少米？
小明是这样列式的：
解：设小路的宽应该为$x$ m. 根据题意，得$32×12 - 32x - 12x = 300$.
你认为小明的列式正确吗？如果正确，请你继续作答；如果不正确，请你正确作答.

答案： 【解】不正确.
设小路的宽应该为$x$m，依题意有$(12 - x)(32 - x)=300$，整理，得$x^{2}-44x + 84 = 0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=42$(不合题意，舍去).故小路的宽应该为$2$m.

17. 新考法 阅读类比法 阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式$ax^{2}+bx + c(a\neq0)$变形为$a(x + m)^{2}+n$的形式，我们把这样的式子变形叫做多项式$ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的配方法.
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式.
例如：$x^{2}+11x + 24 = x^{2}+11x + (\frac{11}{2})^{2}-(\frac{11}{2})^{2}+24=(x+\frac{11}{2})^{2}-\frac{25}{4}=(x+\frac{11}{2}+\frac{5}{2})(x+\frac{11}{2}-\frac{5}{2})=(x + 8)(x + 3)$.
根据以上材料，解答下列问题：
(1)用多项式的配方法将$x^{2}+8x - 1$变形为$(x + m)^{2}+n$的形式；
(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式$x^{2}-3x - 40$进行分解因式的解答过程：
$x^{2}-3x - 40 = x^{2}-3x + 3^{2}-3^{2}-40=(x - 3)^{2}-49=(x - 3 + 7)(x - 3 - 7)=(x + 4)(x - 10)$.
老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答过程中开始出现错误的地方，并用“﹏﹏”标画出来. 然后再写出完整的、正确的解答过程；
(3)求证：当$x,y$取任意实数时，多项式$x^{2}+y^{2}-2x - 4y + 16$的值总为正数.

答案：
(1)【解】$x^{2}+8x - 1 = x^{2}+8x + 4^{2}-4^{2}-1=(x + 4)^{2}-17$.
(2)【解】该同学第一步出现错误.$x^{2}-3x - 40 = x^{2}-3x + (\frac{3}{2})^{2}-(\frac{3}{2})^{2}-40=(x - \frac{3}{2})^{2}-\frac{169}{4}=(x - \frac{3}{2}+\frac{13}{2})(x - \frac{3}{2}-\frac{13}{2})=(x + 5)(x - 8)$.
正确的解答过程如下:
$x^{2}-3x - 40 = x^{2}-3x + (\frac{3}{2})^{2}-(\frac{3}{2})^{2}-40=(x - \frac{3}{2})^{2}-\frac{169}{4}=(x - \frac{3}{2}+\frac{13}{2})(x - \frac{3}{2}-\frac{13}{2})=(x + 5)(x - 8)$.
(3)【证明】$x^{2}+y^{2}-2x - 4y + 16 = x^{2}-2x + 1 + y^{2}-4y + 4 + 11=(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}+11$.$\because (x - 1)^{2}\geqslant0$，$(y - 2)^{2}\geqslant0$，$\therefore (x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}+11＞0$.$\therefore$当$x$，$y$取任意实数时，多项式$x^{2}+y^{2}-2x - 4y + 16$的值总为正数.