《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

14. (8分)[2024·武汉阶段练习]已知关于$x$的方程$x^{2}+ax + a - 2 = 0$.
(1)若$a = -1$，请直接写出方程的实数根；
(2)若该方程的一个根为1，求$a$的值及该方程的另一个根.

答案： [解]
(1)$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_{2}=\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$。
(2)将$x = 1$代入方程$x^{2}+ax + a - 2 = 0$，得$1 + a + a - 2 = 0$，解得$a=\frac{1}{2}$。
∴方程为$x^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0$，即$2x^{2}+x - 3 = 0$，变形，得$(2x + 3)(x - 1)=0$，
∴$x_{1}=-\frac{3}{2},x_{2}=1$，即该方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$。

15. (12分)新考法 分类讨论法 已知关于$x$的方程$x^{2}-(2m + 1)x + 4m - 2 = 0$.
(1)求证：无论$m$为何值，方程总有实数根；
(2)若有一个等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求$m$的值和这个等腰三角形的面积.

答案：

(1)[证明]
∵$\Delta=[-(2m + 1)]^{2}-4(4m - 2)=(2m - 3)^{2}≥0$，
∴无论m为何值，方程总有实数根。
(2)[解]①当另两边相等，即$\Delta = 0$时，$(2m - 3)^{2}=0$，解得$m=\frac{3}{2}$，
∴$x^{2}-4x + 4 = 0$。
∴$(x - 2)^{2}=0$。
∴$x_{1}=x_{2}=2$，此时$2 + 2＞3$，符合题意。
如图①，$\triangle ABC$中，$AB = AC = 2$，$BC = 3$，作$AD⊥BC$于点D，则$BD=\frac{3}{2}$，
∴$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{2^{2}-(\frac{3}{2})^{2}}=\sqrt{4 - \frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$

∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{7}}{2}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$；
②当腰长是3，即方程的一个根是3时，$9 - 3(2m + 1)+4m - 2 = 0$，解得$m = 2$，
∴$x^{2}-5x + 6 = 0$。
∴$(x - 2)(x - 3)=0$。
∴$x_{1}=2,x_{2}=3$，此时$2 + 3＞3$，符合题意。
如图②，$\triangle ABC$中，$AB = AC = 3$，$BC = 2$，作$AD⊥BC$于点D，则$BD = 1$，
∴$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{3^{2}-1^{2}}=\sqrt{9 - 1}=2\sqrt{2}$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

综上可知，$m=\frac{3}{2}$，等腰三角形的面积为$\frac{3\sqrt{7}}{4}$；或$m = 2$，等腰三角形的面积为$2\sqrt{2}$。

16. (12分)[2024·厦门模拟]定义：如果一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$满足$a + b + c = 0$，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.
(1)已知$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$是“凤凰”方程，且该方程有两个相等的实数根. 试求$a$与$c$的关系；
(2)已知关于$x$的方程$m(x^{2}+1)-3x^{2}+nx = 0$是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数. 求整数$m$的值.

答案： [解]
(1)
∵$ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$有两个相等的实数根，
∴$\Delta=b^{2}-4ac = 0$。
∵$ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$是“凤凰”方程，
∴$a + b + c = 0$。
∴$b = - a - c$。
∴$(-a - c)^{2}-4ac = 0$，即$a^{2}+2ac + c^{2}-4ac = 0$。
∴$(a - c)^{2}=0$。
∴$a - c = 0$，即$a = c$。
(2)方程整理，得$(m - 3)x^{2}+nx + m = 0$。
∵此方程是“凤凰”方程，
∴$m - 3 + n + m = 2m + n - 3 = 0$。
∴$n = 3 - 2m$。
∵$\Delta=n^{2}-4m(m - 3)=n^{2}-4m^{2}+12m=(3 - 2m)^{2}-4m^{2}+12m = 9$，
∴$x=\frac{-n±\sqrt{9}}{2(m - 3)}=\frac{-n±3}{2m - 6}=\frac{-(3 - 2m)±3}{2m - 6}=\frac{2m - 3±3}{2m - 6}$。
∴$x_{1}=1,x_{2}=\frac{m}{m - 3}=\frac{m - 3 + 3}{m - 3}=\frac{m - 3}{m - 3}+\frac{3}{m - 3}=1+\frac{3}{m - 3}$。
∵两个实数根都是整数，且m是整数，
∴$m - 3 = ±3$，或$m - 3 = ±1$。
∴$m = 0$或$m = 6$或$m = 2$或$m = 4$。
∴整数m的值为0或2或4或6。