《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

7. 母题·教材P74习题T1手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”，如图（单位：厘米），墨涵同学装裱了一幅手卷，手卷长1 000厘米，宽40厘米.引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x厘米，画心的面积为15 200平方厘米，根据题意，可列方程为（ ）

A. (1 000−4x)(40−2x)=15 200
B. (1 000−2×100−2x)(40−4x)=15 200
C. (1 000−2×100−2x)(40−2x)=15 200
D. (1 000−2×100−4x)(40−2x)=15 200

答案： D

8. [2024·济宁任城区模拟]如图，将边长为40 cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计），若该无盖盒子的底面积为900 cm²，则盒子的容积是（ ）
　　
A. 3 600 cm³
B. 4 000 cm³
C. 4 500 cm³
D. 9 000 cm³

答案： C

9. [2024·枣庄二模]利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法.如图①，BD是长方形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图②重新摆放，观察两图，若a=6，b=3，则长方形ABCD的面积是________.

答案： 36　　[点拨]设正方形的边长为x，则长方形ABCD的长AB为(a + x)，宽BC为(b + x)，由题图①可得1/2(a + x)(b + x)=1/2ax×2 + 1/2bx×2 + x²，整理得x² + ax + bx - ab = 0，
∵a = 6，b = 3，
∴x² + 9x - 18 = 0。
∴x² + 9x = 18。
∴长方形ABCD的面积为(a + x)·(b + x)=(x + 6)(x + 3)=x² + 9x + 18 = 18 + 18 = 36。

10. [2024·莱西模拟]如图，某校将修建一块长为60米，宽为50米的矩形场地.其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，空白部分为三个矩形的运动区且面积和等于2 430平方米，每个矩形的一边长均为a米，求通道的宽度.

答案： [解]设通道的宽度为x米，由题图可知a = (60 - 3x)/2。
根据题意可得(50 - 2x)(60 - 3x) - x·(60 - 3x)/2 = 2430，
解得x₁ = 2，x₂ = 38。
当x = 38时，38×3 = 114(米)＞60米，不合题意。
∴x = 2。
答:通道的宽度为2米。

11. 母题教材P74习题T2用一段长32 m的篱笆和长8 m的墙AB围成一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为x m.
（1）如图①，若矩形花园CDEF的一边靠墙AB，另三边由篱笆围成，当花园的面积为78 m²时，求x的值；
（2）如图②，若矩形花园ADEF的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆围成，花园面积能否为110 m²？若能，求出BF的长；若不能，请说明理由.

答案： [解]
(1)由题意，得1/2(32 - x)x = 78，
解得x₁ = 6，x₂ = 26，
∵26 m＞8 m，
∴x = 6。
(2)不能。理由:设BF = y m，
则1/2(32 - 8 - 2y)(y + 8)=110，
整理,得y² - 4y + 14 = 0，
∵Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4×14 = 16 - 56 = -40＜0，
∴原方程无实数根，
∴花园的面积不能为110 m²。