《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

6. 新考向 数学文化 我国古代著作《四元玉鉴》中记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽. 每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文. 如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A. $3(x + 1)x = 6 210$
B. $3(x - 1)x = 6 210$
C. $(3x - 1)x = 6 210$
D. $(3x + 1)x = 6 210$

答案： B

7. [2024·烟台期末] “爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗.
(1)求出2024年至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率.
(2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗面的售价不得超过15元，则当每碗面的售价定为多少元时，店家才能实现每天利润为360元？

答案： 【解】
(1)设年平均增长率为$x$，依题意，得$2(1 + x)^2 = 2.88$。解得$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（舍去）。答：2024年至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率为20%。
(2)设当每碗面的售价定为$y$元时，店家才能实现每天利润为360元，依题意，得$(y - 6)[60 - 4(y - 10)] = 360$，解得$y_1 = 15$，$y_2 = 16$。$\because$每碗面的售价不得超过15元，$\therefore y = 15$。$\therefore$当每碗面的售价定为15元时，店家才能实现每天利润为360元。

8. 核心素养 抽象能力 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与每双运动鞋降低的价格x（元）之间存在如图所示的一次函数关系.
(1)求出y与x的函数关系式.
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8 910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50％，公司每天能否获得9 000元的利润？若能，请求出售价；若不能，请说明理由.

答案： 【解】
(1)设$y$与$x$的函数关系式为$y = kx + b(k≠0)$。$\because$函数图象经过点$(0,200)$和$(10,300)$，$\therefore \begin{cases}200 = b\\300 = 10k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 10\\b = 200\end{cases}$，$\therefore y$与$x$的函数关系式为$y = 10x + 200$。
(2)由题意得$(10x + 200)(100 - x - 60)=8910$，解得$x_1 = 7$，$x_2 = 13$。$\because$优惠力度最大，$\therefore x = 13$，此时售价为$100 - 13 = 87$（元）。$\therefore$每双运动鞋的售价应该定为87元。
(3)公司每天能获得9000元的利润。依题意，得$(100 - 60 - x)(10x + 200)=9000$，解得$x_1 = x_2 = 10$。$\because$要保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，$\therefore 100 - 60 - x\geqslant60×50\%$，解得$x\leqslant10$。$\therefore x = 10$，此时售价为$100 - 10 = 90$（元）。$\therefore$售价为90元时，公司每天能获得9000元的利润。