《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

14. [2024·烟台期中] 如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(b + d + f\neq0)$，且$a + c + e = 3(b + d + f)$，那么$k$的值是_______.

答案： 3 【点拨】
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(b + d + f≠0)$，
∴a = bk，c = dk，e = fk。
∵a + c + e = 3(b + d + f)。
∴bk + dk + fk = 3(b + d + f)。
∴k = 3。

15. (8分)已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，且$\frac{2}{a}=\frac{3}{b}=\frac{4}{c}$.
(1)求$\frac{a + 2b}{3c}$的值；
(2)若$\triangle ABC$的周长为81，求$a$，$b$，$c$的值.

答案： 【解】
(1)设$\frac{2}{a}=\frac{3}{b}=\frac{4}{c}=\frac{1}{k}(k≠0)$，
则a = 2k，b = 3k，c = 4k，
∴$\frac{a + 2b}{3c}=\frac{2k + 2×3k}{3×4k}=\frac{8k}{12k}=\frac{2}{3}$。
(2)
∵a = 2k，b = 3k，c = 4k，
∴a + b + c = 2k + 3k + 4k = 9k = 81。
∴k = 9。
∴a = 18，b = 27，c = 36。

16. (8分)[2024·枣庄期末] 如图所示，判断四边形$ABCD$与四边形$EFGH$是否相似，请说明理由.
　　　　　　　　　　

答案： 【解】不一定相似. 理由如下：
∵∠D = 360° - ∠A - ∠B - ∠C = 50°，∠H = 360° - ∠E - ∠F - ∠G = 50°，
∴∠D = ∠H。
∵四边形ABCD与四边形EFGH的对应边的比值不能确定相等，
∴四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似。

17. (10分)[2024·汉中模拟] 如图，在$\triangle OCE$中，$AD// BE$，$BD// CE$.
(1)求证：$\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}$；
(2)若$OA = 4$，$AC = 12$，求$OB$的长.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)【证明】
∵AD//BE，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OE}$。
∵BD//CE，
∴$\frac{OB}{OC}=\frac{OD}{OE}$。
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}$。
(2)【解】
∵OA = 4，AC = 12，
∴OC = 16。
∵$\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}$，
∴$\frac{4}{OB}=\frac{OB}{16}$。
∴OB = 8。

18. (10分)[2024·济南市中区期末] 如图，四边形$ABCD$为平行四边形，$AE$平分$\angle BAD$交$BC$于点$E$，过点$E$作$EF// AB$，交$AD$于点$F$，连接$BF$.
(1)求证：$BF$平分$\angle ABC$；
(2)若$AB = 6$，且四边形$ABCD\backsim$四边形$CEFD$，求$BC$的长.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)【证明】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC。
又
∵EF//AB，
∴四边形ABEF是平行四边形。
∵AD//BC，
∴∠FAE = ∠AEB。
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE = ∠BAE。
∴∠BAE = ∠AEB。
∴AB = EB。
∴四边形ABEF是菱形。
∴BF平分∠ABC。
(2)【解】由
(1)知，四边形ABEF是菱形，
∴BE = EF = AB = 6。
∵四边形ABCD与四边形CEFD相似，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BC}{EF}$，即$\frac{6}{BC - 6}=\frac{BC}{6}$。
∴BC = 3 + 3$\sqrt{5}$。