《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1.在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路(图中的阴影部分，单位:米)，余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的
　方程:________________ (化为一般式).

答案： $x^{2}-38x + 37 = 0$

2.[2024.东菅模拟]如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m 宽的门(建在EF处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m²的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650m²吗？如果能，请你给出设计方案;如果不能，请说明理由.
　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1)设矩形ABCD的边AB = x m，则边BC = 70 - 2x + 2 = (72 - 2x)m.
根据题意，得x(72 - 2x) = 640.
化简，得$x^{2}-36x + 320 = 0$，解得$x_{1}=16$，$x_{2}=20$.
当x = 16时，72 - 2x = 40；当x = 20时，72 - 2x = 32.
∴当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 $m^{2}$的羊圈.
(2)不能.理由如下：
由题意，得x(72 - 2x) = 650.
化简，得$x^{2}-36x + 325 = 0$.
∵$\Delta=(-36)^{2}-4×325=-4＜0$，
∴该一元二次方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到650 $m^{2}$.

3.情境24慧春耕眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，设该村水稻亩产量年平均增长率为x,则可列方程为　　　　(　　　)
　
A.670×(1+2x)=780B.670×(1+x)²=780
C.670×(1+x²)=780D.670×(1+x)=780

答案： B

4.[2024.烟台芝罘区期末]某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同.
(1)求该商品每次降价的百分率;
(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于199元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？

答案： 【解】
(1)设该商品每次降价的百分率为x，依题意，得60$(1 - x)^{2}=48.6$，解得$x_{1}=0.1 = 10\%$，$x_{2}=1.9$(不合题意，舍去).
∴该商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出m件，则第二次降价后售出(20 - m)件，依题意，得60×(1 - 10%)m + 48.6(20 - m) - 40×20 ≥ 199，解得m ≥ 5.
∴第一次降价至少售出5件后，方可进行第二次降价.

5.[2024.滨州期末]某商店经销一批小家电，每个小家电的成本为40元，市场预测定价为50元时，可销售200个，当定价每增加1元时销售量将减少10个.若商店进货全部售完后赚了2250 元，则本次小家电的销售定价是________.

答案： 55元【点拨】设本次小家电的销售定价是x元，则每个的销售利润为(x - 40)元，可销售[200 - 10(x - 50)]个，根据题意，得(x - 40)[200 - 10(x - 50)] = 2250，整理，得$x^{2}-110x + 3025 = 0$，解得$x_{1}=x_{2}=55$.
∴本次小家电的销售定价是55元.