《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

10. 如图，在Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF，∠CFE外角的平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足.
（1）∠EAF=________°；
（2）求证：四边形ABCD是正方形.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)45　　[点拨]
∵∠C=90°,
　
∴∠CFE+∠CEF=90°.
　
∴∠DFE+∠BEF=360°−90°=270°.
　
∵FA平分∠DFE,EA平分∠BEF,
　
∴∠AFE=$\frac{1}{2}$∠DFE,∠AEF=$\frac{1}{2}$∠BEF.
　
∴∠AFE+∠AEF=$\frac{1}{2}$(∠DFE+∠BEF)=$\frac{1}{2}$×270°=135°.
∴∠EAF=180°−∠AEF−∠AFE=45°.
(2)[证明]如图,作AG⊥EF于点G,则∠AGE=∠AGF=90°.
∵AB⊥CE,AD⊥CF,
　
∴∠B=∠D=90°.
　　又
∵∠C=90°,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
∴四边形ABCD是矩形.
　
∵EA平分∠BEF,
∴∠AEB=∠AEG.
　　在△AEB和△AEG中,$\begin{cases}∠AEB = ∠AEG,\\∠ABE = ∠AGE = 90°,\\AE = AE,\end{cases}$
　
∴△AEB≌△AEG(AAS).
∴AB=AG.
　　同理可证△AFG≌△AFD(AAS),
∴AD=AG.
　
∴AB=AD.
∴四边形ABCD是正方形.

11. [2024·济南槐荫区期末] 如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE.
（1）判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)四边形EFGH为平行四边形，证明如下:
　
∵在△ABC中，E,F分别是边AB,BC的中点，
　
∴EF//AC,EF=$\frac{1}{2}$AC.　　
　　同理可得GH//AC,GH=$\frac{1}{2}$AC,
　
∴EF//GH,EF=GH.
　
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形，理由如下:
　
∵E,F,H分别是边AB,BC,DA的中点，
　
∴EH=$\frac{1}{2}$BD,EH//BD,EF=$\frac{1}{2}$AC,EF//AC.
　
∵AC=BD,则有EH=EF.
　　由
(1)可知四边形EFGH是平行四边形，
　
∴四边形EFGH是菱形.
　
∵AC⊥BD,EF//AC,EH//BD,
　
∴EF⊥EH.
∴∠FEH=90°.
　
∴四边形EFGH为正方形.

12. 如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，AC=6，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形.
（2）探究：CE + CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

答案：
(1)[证明]过点E分别作EM⊥BC于点M,EN⊥CD 于点N,则易得∠MEN=90°.
　
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
　
∴易知EM=EN.
　
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF=90°.
　
∴∠DEF−∠NEF=∠MEN−∠NEF,
　　即∠DEN=∠FEM.
　　在△DEN和△FEM中,$\begin{cases}∠DNE = ∠FME = 90°,\\EN = EM,\\∠DEN = ∠FEM,\end{cases}$
　
∴△DEN≌△FEM(ASA).
∴DE=EF.
　
∴矩形DEFG是正方形.
(2)[解]CE+CG的值为定值.
　
∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形，
　
∴DE=DG,AD=CD,∠CDG+∠CDE=90°,∠ADE+∠CDE=90°.
∴∠CDG=∠ADE.
　　在△ADE和△CDG中,$\begin{cases}AD = CD,\\∠ADE = ∠CDG,\\DE = DG,\end{cases}$
　
∴△ADE≌△CDG(SAS).
∴AE=CG;
　
∴CE+CG=CE+AE=AC=6.