《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

10. 如图，四边形ABCD、四边形CDEF、四边形EFGH都是边长相等的正方形.
(1)△ACF与△GCA相似吗？请说明你的理由.
(2)求∠1 + ∠2的度数.

答案： 【解】
(1)△ACF与△GCA相似.
理由：设正方形ABCD、正方形CDEF、正方形EFGH的边长均为a，
易得△ACF的三边长分别为AC = $\sqrt{2}a$，CF = a，AF = $\sqrt{5}a$，△GCA的三边长分别为AC = $\sqrt{2}a$，CG = 2a，AG = $\sqrt{10}a$.
∵$\frac{CF}{CA}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{GC}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AF}{GA}=\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{10}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CF}{CA}=\frac{AC}{GC}=\frac{AF}{GA}$，
∴△ACF∽△GCA.
(2)
∵△ACF∽△GCA，
∴∠1 = ∠CAF，
∴∠1 + ∠2 = ∠CAF + ∠2 = ∠ACB.
易知∠ACB = 45°，
∴∠1 + ∠2 = 45°.

11. [2024·南京模拟]如图，在△ABC和△A'B'C'中，D，D'分别是AB，A'B'上的点，$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$.

(1)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$时，求证：△ABC∽△A'B'C'.
证明的途径可以用下面的框图表示.
①处填____________，②处填____________.

(2)当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$时，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.

答案：
【解】
(1)AD = A'D'；∠A = ∠A'.
(2)△ABC与△A'B'C'相似.理由如下：如图，过点D，D'分别作DE//BC，D'E'//B'C'，DE交AC于点E，D'E'交A'C'于点E'.
∵DE//BC，
∴易得△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$.同理可得$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{D'E'}{B'C'}=\frac{A'E'}{A'C'}$.
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{D'E'}{B'C'}$，同理可得$\frac{AE}{AC}=\frac{A'E'}{A'C'}$，
∴$\frac{AC - AE}{AC}=\frac{A'C' - A'E'}{A'C'}$，即$\frac{EC}{AC}=\frac{E'C'}{A'C'}$.
又
∵∠C = ∠C'，
∴△DCE∽△D'C'E'，
∴∠CED = ∠C'E'D'.
∵DE//BC，
∴∠CED + ∠ACB = 180°.同理，∠C'E'D' + ∠A'C'B' = 180°，
∴∠ACB = ∠A'C'B'.
又
∵$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，
∴△ABC∽△A'B'C'.

12. 核心素养 推理能力 我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，如图①，△ABC就是格点三角形，设每个小正方形的边长均为1.
(1)在图②中，有格点D，E，再找一个格点P，使这三点所构成的△PDE与△ABC相似；
(2)在图③中，有格点M，N，再找一个格点Q，使这三点所构成的△QMN与△ABC相似，且△QMN的面积最大.

答案：
【解】
(1)由题意得AC = $\sqrt{2}$，BC = 2，AB = $\sqrt{10}$，DE = $2\sqrt{2}$.
若△PDE∽△ABC，则DE:BC = PE:AC = PD:AB，即$2\sqrt{2}:2 = PE:\sqrt{2} = PD:\sqrt{10}$，
∴PE = 2，PD = $2\sqrt{5}$.如图①，点P即为所求.(答案不唯一)

(2)由题意，得MN = 4.若△QMN的面积最大，则MN与AC对应，则MN:AC = QM:BC = QN:AB = $2\sqrt{2}:\sqrt{2}=2:1$.
∵BC = 2，AB = $\sqrt{10}$，
∴QM = $4\sqrt{2}$，QN = $4\sqrt{5}$.
如图②，点Q即为所求.