《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 母题教材P67习题T1已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(8 + k)x + 8k = 0$，则它的根的情况是 （ ）
A. 必有两个相等的实数根
B. 必有两个不相等的实数根
C. 必有实数根
D. 没有实数根

答案： C

2. 新视角 新定义题 对于实数a，b，定义一种运算“⊕”：$a\oplus b = a^{2}-2b$，若关于x的方程$(x + 1)\oplus(3m)=0$没有实数根，求实数m的取值范围.

答案： 【解】由题意可得$(x + 1)^2 - 2\times3m = 0$，
整理，得$x^2 + 2x + 1 - 6m = 0$，
∵该方程没有实数根，
∴$\Delta = 4 - 4(1 - 6m) ＜ 0$，解得$m ＜ 0$。

3. [2024·烟台福山区二模]已知关于x的一元二次方程$(m + 1)x^{2}+2mx + m - 3 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根.

答案： 【解】
(1)
∵关于$x$的一元二次方程$(m + 1)x^2 + 2mx + m - 3 = 0$有两个不相等的实数根，
∴$m + 1\neq0$且$\Delta＞0$。
∵$\Delta=(2m)^2 - 4(m + 1)(m - 3)=4(2m + 3)$，
∴$2m + 3＞0$，解得$m＞-\frac{3}{2}$。
∴$m$的取值范围是$m＞-\frac{3}{2}$且$m\neq - 1$。
(2)在$m＞-\frac{3}{2}$且$m\neq - 1$的范围内，最小奇数$m$为1。
此时，方程化为$x^2 + x - 1 = 0$。
∵$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\times1\times(-1)=5＞0$，
∴$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2\times1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
∴方程的根为$x_1=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$。

4. [2024·枣庄模拟]已知$T=(a + 3b)^{2}+(2a + 3b)(2a - 3b)+a^{2}$.
(1)化简T；
(2)若关于x的方程$x^{2}+2ax - ab + 1 = 0$有两个相等的实数根，求T的值.

答案： 【解】
(1)$T=(a + 3b)^2 + (2a + 3b)(2a - 3b)+a^2$
$=a^2 + 6ab + 9b^2 + 4a^2 - 9b^2 + a^2$
$=6a^2 + 6ab$。
(2)
∵关于$x$的方程$x^2 + 2ax - ab + 1 = 0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(2a)^2 - 4(-ab + 1)=0$。
∴$a^2 + ab = 1$。
∴$T = 6a^2 + 6ab = 6(a^2 + ab)=6\times1 = 6$。

5. [2024·潍坊一模]已知关于x的一元二次方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x = - 1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由.

答案： 【解】
(1)$\triangle ABC$是等腰三角形.理由如下：
∵$x = - 1$是方程的根，
∴$(a + c)\times(-1)^2 - 2b + (a - c)=0$。
∴$a + c - 2b + a - c = 0$。
∴$a - b = 0$。
∴$a = b$。
∴$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2)$\triangle ABC$是直角三角形.理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(2b)^2 - 4(a + c)(a - c)=0$。
∴$4b^2 - 4a^2 + 4c^2 = 0$。
∴$b^2 + c^2 = a^2$。
∴$\triangle ABC$是直角三角形。