《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 计算$(\sqrt{27}-\sqrt{12})\times\sqrt{\frac{1}{3}}$的结果是（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. 1
C. $\sqrt{5}$
D. 3

答案： B

2. 填空：
(1)$\sqrt{48}\div\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}=$_______；
(2)$\sqrt{24}\div\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{18}+\sqrt{32}=$_______.

答案：
(1)$4-\sqrt{6}$
(2)$6\sqrt{2}-3$

3. [新考法 过程辨析法]在计算$\sqrt{6}\times2\sqrt{3}-\sqrt{24}\div\sqrt{3}$的值时，小亮的解题过程如下：
解：原式$=2\sqrt{6\times3}-\sqrt{\frac{24}{3}}\cdots\cdots$①
$=2\sqrt{18}-\sqrt{8}\cdots\cdots$②
$=(2 - 1)\sqrt{18 - 8}\cdots\cdots$③
$=\sqrt{10}\cdots\cdots$④
(1)老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第_______步开始出错的；
(2)请你给出正确的解题过程.

答案：
(1)③
(2)原式$=2\sqrt{6\times3}-\sqrt{\frac{24}{3}}$
$=2\sqrt{18}-\sqrt{8}$
$=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}$
$=4\sqrt{2}$.

4. 下列计算中，正确的是（ ）
A. $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B. $\sqrt{2}\times\sqrt{3}=6$
C. $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5$
D. $(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=-1$

答案： D

5. [2024·天津月考]化简$(\sqrt{5}+2)^{2025}\times(\sqrt{5}-2)^{2026}$的结果是_______.

答案： $\sqrt{5}-2$

6. 计算：
(1)$(3 + 2\sqrt{5})^2-(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})$；
(2)$(-5)^0+|1-\sqrt{2}|-(\sqrt{2}+\frac{1}{2})^2$.

答案：
(1)$(3 + 2\sqrt{5})^{2}-(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})$
$=9 + 12\sqrt{5}+20-(16 - 5)$
$=9 + 12\sqrt{5}+20 - 11$
$=18 + 12\sqrt{5}$.
(2)$(-5)^{0}+\vert1-\sqrt{2}\vert-(\sqrt{2}+\frac{1}{2})^{2}$
$=1+\sqrt{2}-1-(2+\sqrt{2}+\frac{1}{4})$
$=\sqrt{2}-2-\sqrt{2}-\frac{1}{4}$
$=-\frac{9}{4}$.

7. 先化简，再求值：$(\frac{a^2}{a - b}-\frac{2ab - b^2}{a - b})\div\frac{a - b}{ab}$，其中$a = 3+\sqrt{2}$，$b = 3-\sqrt{2}$.

答案： 原式$=ab$.当$a = 3+\sqrt{2},b = 3-\sqrt{2}$时,原式$=7$.

8. 已知$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{3}$，则$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$的值为（ ）
A. $\pm\sqrt{5}$
B. $\pm\sqrt{7}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\sqrt{7}$

答案： D 【点拨】$\because\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{3},\therefore(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^{2}=3.\therefore x+\frac{1}{x}-2 = 3.\therefore x+\frac{1}{x}=5,\therefore(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}})^{2}=x+\frac{1}{x}+2 = 7$.
$\because\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}＞0,\therefore\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{7}$.
☞点易错 此题易把$-\sqrt{7}$作为其中一个答案.$\because\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}＞0$,$\therefore-\sqrt{7}$需舍去.

9. [2024·重庆]估计$\sqrt{12}\times(\sqrt{2}+\sqrt{3})$的值应在（ ）
A. 8和9之间
B. 9和10之间
C. 10和11之间
D. 11和12之间

答案： C 【点拨】$\because\sqrt{12}\times(\sqrt{2}+\sqrt{3})=2\sqrt{6}+6$,而$4＜\sqrt{24}=2\sqrt{6}＜5,\therefore10＜2\sqrt{6}+6＜11$.故选 C.

10. 已知$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，则$x_1^2+x_2^2$等于（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

答案： C 【点拨】$\because x_{1}=\sqrt{3}+\sqrt{2},x_{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2},\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}-2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(2\sqrt{3})^{2}-2\times(3 - 2)=12 - 2 = 10$.

11. 如图，在一个矩形中放入面积分别为$48\ cm^2$和$3\ cm^2$的两张正方形纸片，两张正方形纸片不重叠，则图中阴影部分的面积为_______$cm^2$.

答案： 9