《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 如图，在矩形ABCD中，BC = 8，CD = 6，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，BC'交AD于点E，求△BDE的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB = CD = 6，AD = BC = 8，AD//BC. 由折叠可知∠DBC = ∠DBE.
∵AD//BC，
∴∠DBC = ∠BDE，
∴∠BDE = ∠EBD，
∴EB = ED. 设ED = EB = x，则AE = 8 - x. 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB² + AE² = BE²，即6² + (8 - x)² = x²，解得x = $\frac{25}{4}$，即DE = $\frac{25}{4}$，
∴△BDE的面积为$\frac{1}{2}$AB·DE = $\frac{1}{2}$×6×$\frac{25}{4}$ = $\frac{75}{4}$.

2. [2024·烟台莱山区模拟] 如图，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，过对角线的交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，求DE的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
【解】如图，连接CE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC = 90°，CD = AB = 6，AD = BC = 8，OA = OC.

∵EF⊥AC，
∴AE = CE.
设DE = x，则CE = AE = 8 - x.
在Rt△CDE中，由勾股定理，得x² + 6² = (8 - x)²，解得x = $\frac{7}{4}$，即DE = $\frac{7}{4}$.

3. [2024·菏泽模拟] 如图，在矩形ABCD中，AD = 8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，求AB的长.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO = CO = BO = DO.
∵AE平分∠BAO，
∴∠BAE = ∠EAO.
∵AE⊥BD，
∴∠AEB = ∠AEO = 90°.
又
∵AE = AE，
∴△ABE≌△AOE(ASA)，
∴AB = AO，
∴AO = AB = BO = DO，
∴BD = 2AB.
∵AD² + AB² = BD²，
∴8² + AB² = 4AB²，
∴AB = $\sqrt{\frac{64}{3}}$.

4. [2024·东营月考] 如图，矩形ABCD中，AB = 8，AD = 6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F，连接DE，BF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)当DE = DF时，求EF的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)【证明】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，OD = OB，
∴∠FDO = ∠EBO.
又
∵∠DOF = ∠BOE，
∴△DOF≌△BOE(ASA)，
∴DF = BE.
又
∵DF//BE，
∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)【解】
∵DE = DF，四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形，
∴DE = BE，EF⊥BD，EF = 2OE，
设AE = x，则DE = BE = 8 - x.
在Rt△ADE中，AE² + AD² = DE²，
∴x² + 6² = (8 - x)²，解得x = $\frac{7}{4}$，
∴DE = 8 - $\frac{7}{4}$ = $\frac{25}{4}$.
在Rt△ABD中，AB² + AD² = BD²，
∴BD = $\sqrt{6² + 8²}$ = 10，
∴OD = $\frac{1}{2}$BD = 5.
在Rt△DOE中，DE² - OD² = OE²，
∴OE = $\sqrt{(\frac{25}{4})² - 5²}$ = $\sqrt{\frac{225}{16}}$ = $\frac{15}{4}$，
∴EF = 2OE = $\frac{15}{2}$.