《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

14. [2024·济宁任城区校级月考]一元二次方程a(x² + 1) + b(x + 2) + c = 0化为一般形式后为6x² + 10x - 1 = 0，求以a，b为两条对角线长的菱形的面积.

答案： 【解】$\because a(x^{2}+1)+b(x + 2)+c = 0,\therefore ax^{2}+bx+a + 2b + c = 0$. 又$\because$一元二次方程$a(x^{2}+1)+b(x + 2)+c = 0$化为一般形式后为$6x^{2}+10x - 1 = 0,\therefore a = 6,b = 10.\therefore S_{菱形}=\frac{1}{2}\times6\times10 = 30$.

15. [新视角 新定义题]将a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$ = ad - bc，上述记法就叫做二阶行列式. 则$\begin{vmatrix}x + 1&x + 2\\x - 2&2x\end{vmatrix}$ = 22表示的方程是一元二次方程吗？若是，请写出它的一般形式.

答案： 【解】是。根据题意，得$2x(x + 1)-(x + 2)(x - 2)=22$，整理，得$2x^{2}+2x - x^{2}+4 = 22$，即$x^{2}+2x - 18 = 0$。则它的一般形式为$x^{2}+2x - 18 = 0$。

16. [2024·菏泽月考]已知关于x的方程(k + 1)·x^k² + ¹ + (k - 3)x - 1 = 0.
(1)当k取何值时，它是一元一次方程？
(2)当k取何值时，它是一元二次方程？

答案： 【解】
(1)由关于$x$的方程$(k + 1)\cdot x^{k^{2}+1}+(k - 3)x - 1 = 0$是一元一次方程，得$\begin{cases}k + 1 = 0\\k - 3\neq 0\end{cases}$或$\begin{cases}k^{2}+1 = 1\\k + 1 + k - 3\neq 0\end{cases}$或$\begin{cases}k^{2}+1 = 0\\k - 3\neq 0\end{cases}$，解得$k = -1$或$k = 0$。故当$k = -1$或$k = 0$时，关于$x$的方程$(k + 1)\cdot x^{k^{2}+1}+(k - 3)x - 1 = 0$是一元一次方程。
(2)由关于$x$的方程$(k + 1)\cdot x^{k^{2}+1}+(k - 3)x - 1 = 0$是一元二次方程，得$\begin{cases}k^{2}+1 = 2\\k + 1\neq 0\end{cases}$，解得$k = 1$。故当$k = 1$时，关于$x$的方程$(k + 1)\cdot x^{k^{2}+1}+(k - 3)x - 1 = 0$是一元二次方程。

17. [核心素养 抽象能力]若x^2a + b - 3x^a - b + 1 = 0是关于x的一元二次方程，求a，b的值. 下面是两名同学的解法.
甲：根据题意，得$\begin{cases}2a + b = 2\\a - b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 0\end{cases}$.
乙：根据题意，得$\begin{cases}2a + b = 2\\a - b = 1\end{cases}$或$\begin{cases}2a + b = 1\\a - b = 2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 1\\b = 0\end{cases}$或$\begin{cases}a = 1\\b = -1\end{cases}$.
你认为上述两名同学的解法是否正确？如果不正确，请给出正确的解法.

答案： 【解】两名同学的解法都不正确，正确的解法如下：欲使$x^{2a + b}-3x^{a - b}+1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，则$\begin{cases}2a + b = 2\\a - b = 2\end{cases}$或$\begin{cases}2a + b = 2\\a - b = 1\end{cases}$或$\begin{cases}2a + b = 2\\a - b = 0\end{cases}$或$\begin{cases}2a + b = 1\\a - b = 2\end{cases}$或$\begin{cases}2a + b = 0\\a - b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{4}{3}\\b = -\frac{2}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}a = 1\\b = 0\end{cases}$或$\begin{cases}a = \frac{2}{3}\\b = \frac{2}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}a = 1\\b = -1\end{cases}$或$\begin{cases}a = \frac{2}{3}\\b = -\frac{4}{3}\end{cases}$。