《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 将方程$2x^{2}+7 = 4x$改写成$ax^{2}+bx + c = 0$的形式，则$a,b,c$的值分别为（ ）
A. 2,4,7
B. 2,4,−7
C. 2,−4,7
D. 2,−4,−7

答案： C

2. [2024·德州月考]用公式法解方程$\sqrt{3}x^{2}+4\sqrt{3}x = 2\sqrt{3}$时，$b^{2}-4ac$的值是（ ）
A. 16
B. 24
C. 72
D. 64

答案： C

3. 下列方程中，以$x=\frac{-5\pm\sqrt{25 + 4c}}{2}$为根的是（ ）
A. $x^{2}-5x - c = 0$
B. $x^{2}+5x - c = 0$
C. $x^{2}-5x + 4c = 0$
D. $x^{2}+5x + c = 0$

答案： B

4. [2024·漳州第一中学模拟]用公式法解方程$2x^{2}+5x - 1 = 0$，所得根正确的是（ ）
A. $x=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{4}$
B. $x=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{2}$
C. $x=\frac{5\pm\sqrt{33}}{4}$
D. $x=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}$

答案： A

5. 母题教材P62例1方程$x^{2}+x - 1 = 0$的负根为____.

答案： $-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

6. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对$(a,b)$进入其中时，会得到一个新的实数$a^{2}+3b - 4$，例如：把$(2,−5)$放入其中，就会得到$2^{2}+3×(−5)-4 = -15$. 现将实数对$(m,−3m)$放入其中，得到实数6，则$m$的值为______.

答案： -1或10

7. 用公式法解方程.
(1)$x^{2}-3x - 1 = 0$；
(2)$2x^{2}+3\sqrt{3}x + 3 = 0$.

答案： 【解】
(1)
∵a = 1,b = -3,c = -1，
∴b² - 4ac = (-3)² - 4×1×(-1) = 13＞0.
∴x = $\frac{-b±\sqrt{b² - 4ac}}{2a}$ = $\frac{-(-3)±\sqrt{13}}{2×1}$ = $\frac{3±\sqrt{13}}{2}$，即x₁ = $\frac{3 + \sqrt{13}}{2}$，x₂ = $\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$.
(2)
∵a = 2,b = 3$\sqrt{3}$,c = 3，
∴b² - 4ac = (3$\sqrt{3}$)² - 4×2×3 = 3＞0.
∴x = $\frac{-b±\sqrt{b² - 4ac}}{2a}$ = $\frac{-3\sqrt{3}±\sqrt{3}}{2×2}$ = $\frac{-3\sqrt{3}±\sqrt{3}}{4}$，即x₁ = -$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂ = -$\sqrt{3}$.

8. 已知代数式$7x(x + 5)+10$与代数式$9x - 9$的值互为相反数，求$x$的值.

答案： 【解】根据题意，得7x(x + 5)+10 + 9x - 9 = 0，整理，得7x² + 44x + 1 = 0，这里a = 7,b = 44,c = 1，
∵b² - 4ac = 44² - 28 = 1908＞0，
∴x = $\frac{-44±\sqrt{1908}}{2×7}$ = $\frac{-22±3\sqrt{53}}{7}$.
∴x₁ = $\frac{-22 + 3\sqrt{53}}{7}$，x₂ = $\frac{-22 - 3\sqrt{53}}{7}$.

9. 用公式法解方程$x^{2}-6x = -2$.
解：这里$a = 1,b = -6,c = -2$，
$\because b^{2}-4ac = (-6)^{2}-4×1×(-2)=44＞0$，
$\therefore x=\frac{6\pm\sqrt{44}}{2}$.
上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正.

答案： 【解】不正确.错误有两点，一是方程没化成一般形式；二是结果没化简.正确解法如下:
移项化为一般形式，得x² - 6x + 2 = 0，这里a = 1,b = -6,c = 2，
∵b² - 4ac = (-6)² - 4×1×2 = 28＞0，
∴x = $\frac{6±\sqrt{28}}{2}$ = $\frac{6±2\sqrt{7}}{2}$ = 3±$\sqrt{7}$，即x₁ = 3 + $\sqrt{7}$，x₂ = 3 - $\sqrt{7}$.
点方法：用公式法解一元二次方程时，首先要把一元二次方程化为一般形式，才能确定a,b,c的值.

10. [2024·北京海淀区月考]已知$a$是一元二次方程$x^{2}-3x - 5 = 0$的较小的根，则下面对$a$的估值正确的是（ ）
A. -1.5 ＜ a ＜ -1
B. 2 ＜ a ＜ 3
C. -4 ＜ a ＜ -3
D. 4 ＜ a ＜ 5

答案： A [点拨]x² - 3x - 5 = 0，
∵a = 1,b = -3,c = -5，
∴b² - 4ac = (-3)² - 4×1×(-5) = 29＞0.
∴x = $\frac{3±\sqrt{29}}{2}$，
∵a是较小的根，
∴a = $\frac{3 - \sqrt{29}}{2}$.
∵$\sqrt{25}$＜$\sqrt{29}$＜$\sqrt{36}$，
∴5＜$\sqrt{29}$＜6.
∴$\frac{3 - 6}{2}$＜$\frac{3 - \sqrt{29}}{2}$＜$\frac{3 - 5}{2}$，即 -1.5＜a＜ -1.故选A.