《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

14. [新考法 过程辨析法]小华在解方程$(x + 6)^{2}-9=0$时,解答的过程如下:
解:移项,得$(x + 6)^{2}=9$, 第一步
两边开平方,得$x + 6=3$, 第二步
所以$x=-3$. 第三步
小华的解答从第______步开始出错,请写出正确的解答过程.

答案： 【解】
正确的解答过程如下：
移项，得$(x + 6)^{2}=9$，
两边开平方，得$x + 6 = 3$或$x + 6=-3$，
解得$x_{1}=-3,x_{2}=-9$.

15. 解方程:
(1)$4(1 - x)^{2}-9=0$;
(2)$y^{2}-2y + 1=4$;
(3)$(2x + 3)^{2}=(3x + 2)^{2}$;
(4)$4x^{2}+12x + 9=81$.

答案： 【解】
(1)方程变形，得$(1 - x)^{2}=\frac{9}{4}$，
两边开平方，得$1 - x=\pm\frac{3}{2}$，
解得$x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=\frac{5}{2}$.
(2)方程变形，得$(y - 1)^{2}=4$，
两边开平方，得$y - 1=\pm2$，
解得$y_{1}=3,y_{2}=-1$.
(3)方程两边开平方，得$2x + 3 = 3x + 2$或$2x + 3=-3x - 2$，
解得$x_{1}=1,x_{2}=-1$.
(4)方程变形，得$(2x + 3)^{2}=81$，
$\therefore 2x + 3 = 9$或$2x + 3=-9$，解得$x_{1}=3,x_{2}=-6$.

16. [新视角 新定义题]在实数范围内定义一种新运算“$\triangle$”,其规则为$a\triangle b=a^{2}-b^{2}$,根据这个规则:
(1)求$4\triangle3$的值;
(2)求$(x + 2)\triangle5=0$中$x$的值;
(3)已知直角三角形的两边长是方程$3\triangle(x - 8)=0$的两根,求第三边的长.

答案： 【解】
(1)$4\triangle3 = 4^{2}-3^{2}=16 - 9 = 7$.
(2)由题意，得$(x + 2)\triangle5=(x + 2)^{2}-5^{2}=0$，
即$(x + 2)^{2}=25$，
两边直接开平方，得$x + 2=\pm5$，
解得$x_{1}=3,x_{2}=-7$.
(3)由题意，得$3\triangle(x - 8)=3^{2}-(x - 8)^{2}$，
解方程$3^{2}-(x - 8)^{2}=0$，得$x_{1}=11,x_{2}=5$.
①当11是直角三角形的斜边长时，则第三边的长是$\sqrt{11^{2}-5^{2}}=4\sqrt{6}$；
②当11是直角三角形的直角边长时，则第三边的长是$\sqrt{11^{2}+5^{2}}=\sqrt{146}$.
综上所述，第三边的长为$4\sqrt{6}$或$\sqrt{146}$.

17. [新考法 阅读类比法]在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:
如:解方程$x(x + 8)=4$.
解:原方程变形,得$[(x + 4)-4][(x + 4)+4]=4$,
$(x + 4)^{2}-4^{2}=4$,
$(x + 4)^{2}=20$,
直接开平方,得$x_{1}=-4 + 2\sqrt{5},x_{2}=-4 - 2\sqrt{5}$.
我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程$(x + 2)(x + 8)=40$时写的解题过程:
解:原方程变形,得$[(x + a)-b][(x + a)+b]=40$,
$(x + a)^{2}-b^{2}=40$,
$(x + a)^{2}=40 + b^{2}$,
直接开平方,得$x_{1}=c,x_{2}=d$.
上述解题过程中的$a,b,c,d$所表示的数分别是______,______,______,______;
(2)请用“平均数法”解方程:$(x - 2)(x + 6)=4$.

答案： 【解】
(1)$5;3;2;-12$【点拨】原方程变形，得$[(x + 5)-3][(x + 5)+3]=40$.$(x + 5)^{2}-3^{2}=40$，$(x + 5)^{2}=49$.直接开平方，得$x_{1}=2,x_{2}=-12$.$\therefore a,b,c,d$所表示的数分别为$5,3,2,-12$.
@@
(2)原方程变形，得$[(x + 2)-4][(x + 2)+4]=4$，$(x + 2)^{2}-4^{2}=4$，$(x + 2)^{2}=20$，直接开平方，得$x_{1}=-2 + 2\sqrt{5},x_{2}=-2 - 2\sqrt{5}$.