《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

6.[2024.辽宁]某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表所示:
　
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价;如果不能，请说明理由.

答案： 【解】
(1)设y与x之间的函数关系式为y = kx + b(k≠0)，将x = 45，y = 55和x = 55，y = 45分别代入y = kx + b，得$\begin{cases}45k + b = 55\\55k + b = 45\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = 100\end{cases}$，
∴y与x之间的函数关系式为y = -x + 100.
(2)该商品日销售额不能达到2600元.理由如下：依题意得x(-x + 100) = 2600，整理，得$x^{2}-100x + 2600 = 0$，
∵$\Delta=(-100)^{2}-4×1×2600=-400＜0$，
∴该一元二次方程没有实数根.
∴该商品日销售额不能达到2600元.

7.一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2.则这个两位数为________.

答案： 24

8.如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出(3×3)个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192,求这9 个数的和.
　　　　　　　　　　

答案： 【解】根据题图可以得出，圈出的9个数中，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x + 16，根据题意，得x(x + 16) = 192，解得$x_{1}=8$，$x_{2}=-24$(不合题意，舍去)，故第1行的三个数为8，9，10，第2行的三个数为15，16，17，第3行的三个数为22，23，24，故这9个数的和为8 + 9 + 10 + 15 + 16 + 17 + 22 + 23 + 24 = 144.

9.如图,在△ABC中,AB=8cm,∠B=30°,点P从点A出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发，沿射线BC方向以4cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发，问:经过多少秒后，△PBQ的面积等于7cm²？
　　　　　　　　　　　　　

答案：
【解】如图，过点Q作QE⊥AB于点E，则QE = $\frac{1}{2}$BQ.设运动时间为t s，则AP = t cm，BQ = 4t cm，
∴PB = $\vert8 - t\vert$ cm，QE = 2t cm.依题意，$\frac{1}{2}\vert8 - t\vert\cdot2t = 7$.

当0 ＜ t ＜ 8时，$t^{2}-8t + 7 = 0$，解得$t_{1}=1$，$t_{2}=7$；当t ＞ 8时，$t^{2}-8t - 7 = 0$，解得$t_{1}=4 - \sqrt{23}$(不符合题意，舍去)，$t_{2}=4 + \sqrt{23}$.
∴经过1 s或7 s或$(4 + \sqrt{23})$ s后，$\triangle PBQ$的面积等于7 $cm^{2}$.

10.某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支.若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是57个，则可列方程为__________________.

答案： $x^{2}+x + 1 = 57$

11.在一次聚会上，规定每两个人必须握一次手.
(1)若参加聚会的人数为5人，则共握手________次.
(2)若参加聚会的人共握手28次，则参加聚会的有多少人？
(3)由握手问题联想到数学问题，如果在线段AB 上取点P1,P2，.….,Pm(不包括端点，如图),那么在这个图形上的线段总数就是66条，则m=
　________.
　

答案： 【解】
(1)10
(2)设参加聚会的有x人，则$\frac{1}{2}x(x - 1) = 28$，解得$x_{1}=8$，$x_{2}=-7$(不合题意，舍去).
∴参加聚会的有8人.
(3)10【点拨】在线段AB上取点$P_{1}$，$P_{2}$，$\cdots$，$P_{m}$(不包括端点)，则共有(m + 2)个点，每一个点都和另外(m + 1)个点组成线段，
∴线段共有$\frac{(m + 2)(m + 1)}{2}$条，
∴$\frac{(m + 2)(m + 1)}{2}=66$，解得m = 10或m = -13(不符合题意，舍去).
∴m = 10.