《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

14. 已知$x:y = 2:3$，$y:z = 4:5$，求$x:y:z$的值.

答案： [解]
∵$x:y = 2:3 = 8:12$，$y:z = 4:5 = 12:15$，
∴$x:y:z = 8:12:15$.

15. 如图，在矩形$ABCD$和矩形$A'B'C'D'$中，$AB = 8\ cm$，$BC = 12\ cm$，$A'B' = 4\ cm$，$B'C' = 6\ cm$.
(1)求$\frac{A'B'}{AB}$和$\frac{B'C'}{BC}$的值.
(2)线段$A'B'$，$AB$，$B'C'$，$BC$是成比例线段吗？

答案： [解]
(1)
∵$AB = 8cm$，$BC = 12cm$，$A'B' = 4cm$，$B'C' = 6cm$，
∴$\frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
(2)由
(1)知$\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$，
∴线段$A'B'$，$AB$，$B'C'$，$BC$是成比例线段.

16. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 24$，$AE = 6$，$EC = 10$，$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$.
(1)求$AD$的长；
(2)求证：$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{EC}$.

答案：
(1)[解]设$AD = x$，则$BD = AB - AD = 24 - x$.由$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，得$\frac{x}{24 - x}=\frac{6}{10}$，解得$x = 9$.经检验，$x = 9$是原分式方程的解.
∴$AD = 9$.
(2)[证明]由
(1)可得$BD = 24 - 9 = 15$，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}$.又
∵$\frac{AC}{EC}=\frac{AE + EC}{EC}=\frac{6 + 10}{10}=\frac{8}{5}$，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{EC}$.

17. [2024·常州] 书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术. 如图，一幅书画在装裱前的大小是$1.2\ m\times0.8\ m$. 装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是$a\ m$，$b\ m$，$c\ m$，$d\ m$. 若装裱后$AB$与$AD$的比是$8:5$，且$a = b$，$c = d$，$c = 2a$，求四周边衬的宽度.

答案： [解]由题意得，$AB=(1.2 + c + d)m$，$AD=(0.8 + a + b)m$.
∵$a = b$，$c = d$，$c = 2a$，
∴$AB=(1.2 + c + d)m=(1.2 + 4a)m$，$AD=(0.8 + a + b)m=(0.8 + 2a)m$.
∵$AB$与$AD$的比是$8:5$，
∴$(1.2 + 4a):(0.8 + 2a)=8:5$，
∴$a = 0.1$.
∴$b = 0.1$，$c = d = 0.2$.
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是$0.1m$，$0.1m$，$0.2m$，$0.2m$.

18. 核心素养 推理能力 如图，在$\square ABCD$中，$DE\perp AB$于点$E$，$BF\perp AD$，交$AD$的延长线于点$F$.
(1)$AB$，$BC$，$BF$，$DE$这四条线段是否成比例？如果不成比例，请说明理由；如果成比例，请写出比例式.
(2)若$AB = 10$，$DE = 2.5$，$BF = 5$，求$BC$的长.

答案： [解]
(1)$AB$，$BC$，$BF$，$DE$这四条线段成比例.
∵$DE⊥AB$，$BF⊥AD$，
∴$S_{//ogram ABCD}=AB\cdot DE = AD\cdot BF$.
∵在▱$ABCD$中，$BC = AD$，
∴$AB\cdot DE = BC\cdot BF$，即$\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{DE}$.
(2)
∵$AB\cdot DE = BC\cdot BF$，
∴$10×2.5 = 5BC$，
∴$BC = 5$.