《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

14. [2024·威海环翠区一模]已知实数$k$满足以下条件：
①关于$x$的一元二次方程$(k - 2)x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$有实数根；
②$\begin{cases}\frac{1}{6}(x + 4)-\frac{1}{3}＞\frac{1}{2},\\\frac{1}{3}x-\frac{1}{12}＞\frac{1}{4}x+\frac{k}{12}\end{cases}$的解集为$x＞k + 1$.
则满足以上所有条件的整数$k$的和为______.

答案： 4【点拨】
∵关于x的一元二次方程$(k - 2)x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$有实数根，$\therefore b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\times\frac{1}{4}\cdot(k - 2)\geqslant0$，$k\neq2$，解得$k\leqslant3$且$k\neq2$.$\begin{cases}\frac{1}{6}(x + 4)-\frac{1}{3}＞\frac{1}{2},①\\ \frac{1}{3}x-\frac{1}{12}＞\frac{1}{4}x+\frac{k}{12},②\end{cases}$解不等式①，得$x＞1$，解不等式②，得$x＞k + 1$，
∵不等式组的解集为$x＞k + 1$，
∴$k + 1\geqslant1$，解得$k\geqslant0$.
∴$0\leqslant k\leqslant3$且$k\neq2$.
∴满足以上所有条件的整数$k$的和为$0 + 1 + 3 = 4$．

15. 如果方程$(3k - 4)x^{2}+6(k + 2)x + 3k + 4 = 0$没有实根，那么方程$kx^{2}-2(k - 1)x+(k + 4)=0$有实数根吗？为什么？

答案： 【解】有。理由：
∵方程$(3k - 4)x^{2}+6(k + 2)x + 3k + 4 = 0$没有实数根，$\therefore \Delta_1＜0$.$\therefore [6(k + 2)]^{2}-4(3k - 4)(3k + 4)＜0$，整理得$k＜-\frac{13}{9}$.$\because \Delta_2=[-2(k - 1)]^{2}-4k(k + 4)=-24k + 4$，$\therefore \Delta_2＞0$，
∴方程$kx^{2}-2(k - 1)x + (k + 4)=0$有实数根。

16. [2024·泰安市泰山区期末]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(m + 1)x+\frac{1}{4}m^{2}-2 = 0$.
（1）当$m$取何值时，此方程没有实数根；
（2）若此方程有两个实数根，求$m$的最小整数值.

答案： 【解】
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+(m + 1)x+\frac{1}{4}m^{2}-2 = 0$没有实数根，$\therefore \Delta=(m + 1)^{2}-4×1×(\frac{1}{4}m^{2}-2)＜0$，$\therefore m＜-\frac{9}{2}$。
(2)
∵方程有两个实数根，
∴$\Delta\geqslant0$，即$2m + 9\geqslant0$，$\therefore m\geqslant-\frac{9}{2}$，
∴$m$的最小整数值为$-4$。

17. [2024·淄博淄川区二模]已知关于$x$的一元二次方程$(x - 1)(x - 2k)+k(k - 1)=0$.
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根$x_1$，$x_2$是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求$k$的值.

答案：
(1)【证明】$(x - 1)(x - 2k)+k(k - 1)=0$，整理得$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$，
∵$a = 1$，$b = -(2k + 1)$，$c = k^{2}+k$，$\therefore b^{2}-4ac=(2k + 1)^{2}-4×1×(k^{2}+k)=1＞0$，
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根。
(2)【解】由
(1)知方程为$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$，$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2k + 1\pm1}{2}$，$\therefore x_1 = k$，$x_2 = k + 1$。①当$x = k$为对角线时，$k^{2}=(k + 1)^{2}+3^{2}$，解得$k = - 5$（不符合题意，舍去）；②当$x = k + 1$为对角线时，$(k + 1)^{2}=k^{2}+3^{2}$，解得$k = 4$。综上所述，$k$的值为$4$。

18. 核心素养 运算能力 我们规定：对于任意实数$a$，$b$，$c$，$d$，有$[a,b]*[c,d]=ac - bd$，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：$[3,2]*[5,1]=3×5 - 2×1 = 13$.
（1）求$[-4,3]*[2,-6]$的值；
（2）已知关于$x$的方程$[x,2x - 1]*[mx + 1,m]=0$有两个实数根，求$m$的取值范围；
（3）若$[3,1]*[3 - a,-1]$的值小于10，请判断方程$2x^{2}-bx - a = 0$的根的情况.

答案： 【解】
(1)$[-4,3][2,-6]=-4×2 - 3×(-6)=10$。
(2)根据题意，得$x(mx + 1)-m(2x - 1)=0$，整理得$mx^{2}+(1 - 2m)x + m = 0$。
∵关于$x$的方程$[x,2x - 1][mx + 1,m]=0$有两个实数根，$\therefore \Delta=(1 - 2m)^{2}-4m\cdot m\geqslant0$且$m\neq0$，解得$m\leqslant\frac{1}{4}$且$m\neq0$。
(3)
∵$[3,1][3 - a,-1]＜10$，$\therefore 3(3 - a)+1＜10$，$\therefore 10 - 3a＜10$，$\therefore a＞0$，$\therefore \Delta=(-b)^{2}+8a=b^{2}+8a＞0$，
∴方程$2x^{2}-bx - a = 0$有两个不相等的实数根。