《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接DE并延长与BA的延长线交于点F，且BD = DC. 求证：$\frac{AE}{EC}=\frac{FA}{FB}$.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
【证明】如图，过点A作AM//DF交BD于点M，则$\frac{AE}{EC}=\frac{MD}{DC},\frac{FA}{FB}=\frac{MD}{BD}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵BD = DC，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{FA}{FB}$.

2. 如图，在△ABC中，D是AB边上一点，E是△ABC内一点，DE//BC，过点D作AC的平行线交CE的延长线于点F，CF与AB交于点P. 求证：$\frac{PE}{PF}=\frac{PA}{PB}$.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【证明】
∵DE//BC，
∴$\frac{PD}{PB}=\frac{PE}{PC}$.
∴PD·PC = PE·PB.
∵DF//AC，
∴$\frac{PF}{PC}=\frac{PD}{PA}$.
∴PD·PC = PF·PA.
∴PE·PB = PF·PA.
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{PA}{PB}$.

3. 如图，已知点A，C，E和点B，F，D分别是∠O两边上的点，且AB//ED，BC//EF. 求证：$\frac{OA}{OC}=\frac{OF}{OD}$.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 【证明】
∵AB//DE，
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OB}{OD}$，即OA·OD = OE·OB.
∵BC//EF，
∴$\frac{OC}{OE}=\frac{OB}{OF}$，即OC·OF = OE·OB.
∴OA·OD = OC·OF，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OF}{OD}$.

4. [2024·济南市中区期末]如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF//BC，交AD于点F，过点E作EG//AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是 （ ）
　　　　　　　　
A. $\frac{AE}{EC}=\frac{EF}{CD}$
B. $\frac{EF}{CD}=\frac{EG}{AB}$
C. $\frac{AF}{FD}=\frac{BG}{GC}$
D. $\frac{CG}{BC}=\frac{AF}{AD}$

答案： C

5. 如图，已知EG//BC，GF//CD，AE = 3，EB = 2，AF = 6，求AD的长.
　

答案： 【解】
∵AE = 3，EB = 2，
∴AB = 5.
∵EG//BC，GF//DC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AC},\frac{AG}{AC}=\frac{AF}{AD}$.
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AD}$，即$\frac{3}{5}=\frac{6}{AD}$，
∴AD = 10.