《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

18. [新考法·分类讨论法]已知$a$，$b$为直角三角形的两条边长，且$\sqrt{a - 3} + 2\sqrt{6 - 2a} = b - 4$，求这个直角三角形的第三边的长.

答案： [解]由题意得$a - 3\geqslant0,6 - 2a\geqslant0$，解得$a = 3$，
∴$b - 4 = 0$，
∴$b = 4$.
∵$a,b$为直角三角形的两条边长，
∴当$a,b$为直角三角形的两条直角边时，第三边的长为$\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$；
当$a$为直角边长，$b$为斜边长时，第三边的长为$\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$.
综上所述，这个直角三角形的第三边的长为5或$\sqrt{7}$.

19. [2024·潍坊安丘月考][新考法·阅读类比法]先阅读，后回答问题.
$x$为何值时，$\sqrt{x(x - 3)}$有意义？
解：要使该二次根式有意义，需$x(x - 3)\geq 0$，
由乘法法则得$\begin{cases}x\geq 0, \\ x - 3\geq 0,\end{cases}$或$\begin{cases}x\leq 0, \\ x - 3\leq 0,\end{cases}$
解得$x\geq 3$或$x\leq 0$.
∴当$x\geq 3$或$x\leq 0$时，$\sqrt{x(x - 3)}$有意义.
体会解题思想后，请你解答：$x$为何值时，$\sqrt{\frac{x - 1}{3x + 6}}$有意义？

答案： [解]要使该二次根式有意义，需$\frac{x - 1}{3x + 6}\geqslant0$，
由乘法法则得$\begin{cases}x - 1\geqslant0\\3x + 6＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x - 1\leqslant0\\3x + 6＜0\end{cases}$，
解得$x\geqslant1$或$x＜-2$.
∴当$x\geqslant1$或$x＜-2$时，$\sqrt{\frac{x - 1}{3x + 6}}$有意义.

20. 已知实数$a$，$b$，$c$满足：$|a + 3| + \sqrt{c - 2} = \sqrt{b - 5} + \sqrt{5 - b}$.
(1)求数$a$，$b$，$c$的值；
(2)求$-b - 3a + 2c$的平方根.

答案： [解]
(1)由题意得$b - 5\geqslant0,5 - b\geqslant0$，
∴$b = 5$.
∴$|a + 3|+\sqrt{c - 2}=0$.
∵$|a + 3|\geqslant0,\sqrt{c - 2}\geqslant0$.
∴$a + 3 = 0,c - 2 = 0$.
∴$a = - 3,c = 2$.
(2)由
(1)得$a = - 3,b = 5,c = 2$.
∴$- b - 3a + 2c=-5 + 9 + 4 = 8$.
∴$- b - 3a + 2c$的平方根是$\pm\sqrt{8}$.

21. [新视角·规律探究题]细心观察下面的图形，认真分析各式，然后解答问题.
$OA_{2}^{2} = (\sqrt{1})^{2} + 1 = 2$，$S_{1} = \frac{\sqrt{1}}{2}$；
$OA_{3}^{2} = 1^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 3$，$S_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
$OA_{4}^{2} = 1^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 4$，$S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
(1)请用含有$n$（$n$是正整数）的等式表示上述变化规律：$OA_{n}^{2} =$________，$S_{n} =$________.
(2)求出$OA_{10}$的长.
(3)求出$S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + \cdots + S_{10}^{2}$的值.

答案： [解]
(1)$n;\frac{\sqrt{n}}{2}$
(2)
∵$OA_{n}^{2}=n$，
∴$OA_{10}=\sqrt{10}$.
(3)
∵$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$，
∴$S_{n}^{2}=\frac{n}{4}$.
∴$S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+\cdots+S_{10}^{2}=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{10}{4}=\frac{55}{4}$.