《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

8. [2024·泰安泰山区二模] 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定. 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此品牌头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?

答案： 【解】
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为$x$，依题意，得$150(1 + x)^2 = 216$，解得$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（不合题意，舍去）.$\therefore$该品牌头盔销售量的月增长率为$20\%$.
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为$y$元/个，依题意，得$(y - 30)[600 - 10(y - 40)] = 10000$，整理，得$y^2 - 130y + 4000 = 0$，解得$y_1 = 80$，$y_2 = 50$.又$\because$尽可能让顾客得到实惠，$\therefore y = 50$.$\therefore$该品牌头盔的实际售价应定为$50$元/个.

9. 阅读材料：
把形如$ax^{2}+bx + c$（a,b,c为常数，且$a\neq0$）的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法. 配方法的依据是$m^{2}\pm2mn + n^{2}=(m\pm n)^{2}$.
例如：$(x - 1)^{2}+3,(x - 2)^{2}+2x,(\frac{1}{2}x - 2)^{2}+\frac{3}{4}x^{2}$是$x^{2}-2x + 4$的三种不同形式的配方，其“余项”分别是常数项、一次项、二次项.
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)仿照上面的例子，写出$x^{2}-4x + 2$的三种不同形式的配方；
(2)已知$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - 3b - 2c + 4 = 0$，求$a + b + c$的值.

答案： 【解】
(1)$(x - 2)^2 - 2$，$(x - \sqrt{2})^2 - (4 - 2\sqrt{2})x$或$(x + \sqrt{2})^2 - (4 + 2\sqrt{2})x$，$2(x - 1)^2 - x^2$.
(2)$\because a^2 + b^2 + c^2 - ab - 3b - 2c + 4 = (a - \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}(b - 2)^2 + (c - 1)^2 = 0$，$\therefore a - \frac{1}{2}b = 0$，$b - 2 = 0$，$c - 1 = 0$.$\therefore a = 1$，$b = 2$，$c = 1$，$\therefore a + b + c = 4$.

10. 已知x = 1是一元二次方程$ax^{2}+bx - 10 = 0$的一个解，求$\frac{2b}{a^{2}-b^{2}}-\frac{1}{a - b}$的值.

答案： 【解】将$x = 1$代入一元二次方程$ax^2 + bx - 10 = 0$中，得$a + b - 10 = 0$，即$a + b = 10$.$\therefore\frac{2b}{a^2 - b^2} - \frac{1}{a - b} = \frac{2b}{(a + b)(a - b)} - \frac{a + b}{(a + b)(a - b)} = -\frac{1}{a + b} = -\frac{1}{10}$.

11. 解方程：$(2x + 1)^{2}-3(2x + 1)=-2$.

答案： 【解】设$2x + 1 = y$，则原方程可化为$y^2 - 3y = -2$. 解得$y_1 = 1$，$y_2 = 2$. 当$y = 1$时，有$2x + 1 = 1$，$\therefore x = 0$； 当$y = 2$时，有$2x + 1 = 2$，$\therefore x = \frac{1}{2}$.$\therefore$原方程的解为$x_1 = 0$，$x_2 = \frac{1}{2}$.

12. 已知关于x的方程$x^{2}+2(a - 1)x + a^{2}-7a - 4 = 0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$.
(1)求a的取值范围.
(2)若$x_{1}^{2}=x_{1}x_{2}$，求方程的两个根及a的值.

答案： 【解】
(1)由题意得$\Delta = 4(a - 1)^2 - 4(a^2 - 7a - 4) = 20a + 20\geqslant0$，解得$a\geqslant -1$.
(2)若$x_1^2 = x_1x_2$，则$x_1(x_1 - x_2) = 0$，$\therefore x_1 = 0$或$x_1 = x_2$. 当$x_1 = 0$时，将$x = 0$代入原方程，得$a^2 - 7a - 4 = 0$，解得$a = \frac{7 + \sqrt{65}}{2}$或$a = \frac{7 - \sqrt{65}}{2}$.$\because x_1 + x_2 = -2(a - 1)$，$\therefore x_2 = -2(a - 1)$.$\therefore x_2 = -5 - \sqrt{65}$或$x_2 = -5 + \sqrt{65}$. 当$x_1 = x_2$时，$\Delta = 20a + 20 = 0$，$\therefore a = -1$. 此时原方程为$x^2 - 4x + 4 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 2$. 综上，方程的两个根分别为$x_1 = 0$，$x_2 = -5 - \sqrt{65}$或$x_1 = 0$，$x_2 = -5 + \sqrt{65}$或$x_1 = 2$，$x_2 = 2$，对应的$a$的值为$\frac{7 + \sqrt{65}}{2}$或$\frac{7 - \sqrt{65}}{2}$或$-1$.