《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

8. [2024·日照月考] 如图，分别以点A，B为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AB同样长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接AB，CD，AC，BC，AD，BD，则下列说法中正确的是（ ）
A. CD⊥AB，但CD不一定平分AB
B. CD垂直平分AB，但AB不一定垂直平分CD
C. AC⊥BC且AC=BC
D. CD与AB互相垂直平分
　　 　　　

答案： D

9. /新考法 过程辨析法/问题：如图，已知四边形ABCD是菱形，E，F是直线AC上两点，AF=CE.
求证：四边形FBED是菱形. 几名同学对这个问题，给出了如下几种思路. 下列选项正确的是（ ）
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而证明该四边
形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该问题错误，根据已知条件不能证明四边形FBED是菱形.
A. 甲、乙对，丙错
B. 乙、丙对，甲错
C. 三名同学都对
D. 甲、丙对，乙错

答案： A

10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = -\frac{4}{3}x + 8的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以AB为边作菱形ABCD，BC//x轴，则菱形ABCD的周长是________.
　　　　　　　

答案： 40 [点拨]当$x = 0$时，$y = -\frac{4}{3}\times0 + 8 = 8$，
∴点B的坐标为$(0,8)$，
∴$OB = 8$. 当$y = 0$时，$-\frac{4}{3}x + 8 = 0$，解得$x = 6$，
∴点A的坐标为$(6,0)$，
∴$OA = 6$. 在$Rt\triangle OAB$中，$OA = 6$，$OB = 8$，
∴$AB = \sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$.
又
∵四边形ABCD为菱形，
∴菱形ABCD的周长$ = 4AB = 4\times10 = 40$.

11. [2024·淄博张店区模拟] 如图，在等腰三角形ABC中，AB = BC，BO平分∠ABC，过点A作AD//BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)若AB=3，∠ABE=120°，求DE的长.
　　　　　　　　　　　　

答案： [解]（1）四边形ABCD是菱形.
理由：
∵$AB = BC$，BO平分$\angle ABC$，
∴$AO = CO$.
∵$AD// BE$，
∴$\angle DAO=\angle ACB$，$\angle ADO=\angle CBO$，
∴$\triangle ADO\cong\triangle CBO$，
∴$DO = BO$，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵$AB = BC$，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）
∵BO平分$\angle ABC$，$\angle ABE = 120^{\circ}$，
∴$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABE = 60^{\circ}$.
∵四边形ABCD是菱形，$AB = 3$，
∴$BC = CD = AB = 3$，
∴$\triangle BCD$是等边三角形，
∴$BD = BC = 3$.
∵$BD\perp DE$，
∴$\angle BDE = 90^{\circ}$，
∴$\angle E = 90^{\circ}-\angle DBC = 30^{\circ}$，
∴$BE = 2BD = 6$，
∴$DE = \sqrt{BE^{2}-BD^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{27}$.

12. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB≠CD，BD=AC.
(1)求证：AD=BC.
(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分.
　　　　　　　　

答案：
[证明]（1）如图，过点B作$BM// AC$交DC的延长线于点M，
∴$\angle ACD=\angle M$.
∵$AB// CD$，
∴四边形ABMC为平行四边形.
∴$AC = BM$.
又
∵$AC = BD$，
∴$BD = BM$.
∴$\angle BDC=\angle M$，
∴$\angle BDC=\angle ACD$.
又
∵$CD = DC$，$AC = BD$，
∴$\triangle ACD\cong\triangle BDC$.
∴$AD = BC$.
（2）如图，连接EH，HF，FG，GE.
∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，
∴$HE// AD$，且$HE=\frac{1}{2}AD$，$FG// AD$，且$FG=\frac{1}{2}AD$，$EG=\frac{1}{2}BC$.

∴$HE// FG$，$HE = FG$.
∴四边形HFGE为平行四边形.
由（1）知，$AD = BC$，
∴$HE = EG$.
∴$\square HFGE$为菱形.
∴线段EF与线段GH互相垂直平分.