《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

10. 母题教材P93习题T1(2) 如图，已知直线l₁，l₂，l₃分别截直线l₄于点A，B，C，截直线l₅于点D，E，F，且l₁//l₂//l₃.
(1)如果AB = 4，BC = 8，EF = 12，求DE的长.
(2)如果DE∶EF = 2∶3，AB = 6，求AC的长.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1)$\because l_{1}// l_{2}// l_{3}$，$\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{DE}{12}=\frac{4}{8}$.$\therefore DE = 6$.
(2)$\because l_{1}// l_{2}// l_{3}$，$\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，$\therefore BC=\frac{3}{2}AB=\frac{3}{2}×6 = 9$.$\therefore AC = AB + BC = 6 + 9 = 15$.

11. 情境题 生活应用 已知装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍，工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体的部分BD = 1 m，搅拌棍上A到底端D处的长度为1.5 m，最后测量出桶的高AE为1.2 m，圆桶内壁的底面直径为1 m. 已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图所示. 请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π）.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】由题意得$BC// DE$.$\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{CE}{AE}$，$\therefore \frac{1}{1.5}=\frac{CE}{1.2}$，解得$CE = 0.8$，$\therefore$桶内所装液体的体积为$\pi(\frac{1}{2})^{2}×0.8=\frac{1}{5}\pi(m^{3})$.
答：桶内所装液体的体积为$\frac{1}{5}\pi$ m³.

12. 学科素养 推理能力 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图②，过点C作CE//DA，交BA的延长线于点E……
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分.
(2)如图③，在△ABC中，AD是角平分线，AB = 5 cm，AC = 4 cm，BC = 7 cm. 求BD的长.
　　　　　

答案： 【解】
(1)证明过程的剩余部分如下：$\because CE// DA$，$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BA}{EA}$，$\angle CAD=\angle ACE$，$\angle BAD=\angle E$.$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAD=\angle CAD$.$\therefore \angle ACE=\angle E$.$\therefore AE = AC$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(2)$\because AD$是$\angle BAC$的平分线，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.$\because AB = 5$ cm，$AC = 4$ cm，$BC = 7$ cm，$\therefore \frac{5}{4}=\frac{BD}{7 - BD}$.$\therefore BD=\frac{35}{9}$ cm.