《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

10. 新视角 动点探究题 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 4 cm，BC = 3 cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1 cm/s，连接PQ.设运动的时间为t s，其中0＜t＜4. 当t为________时，△APQ与△ABC相似.

答案： $\frac{20}{9}$或$\frac{25}{9}$ 【点拨】由勾股定理得AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+3^{2}}$ = 5(cm). 由题意得AQ = t cm，AP = (5 - t)cm. 当AQ : AC = AP : AB时，
∵∠PAQ = ∠BAC，
∴△APQ∽△ABC. 此时t : 4 = (5 - t) : 5，
∴t = $\frac{20}{9}$；当AQ : AB = AP : AC时，
∵∠PAQ = ∠CAB，
∴△APQ∽△ACB. 此时t : 5 = (5 - t) : 4，
∴t = $\frac{25}{9}$. 综上所述，当t为$\frac{20}{9}$或$\frac{25}{9}$时，△APQ与△ABC相似.

11. [2024·烟台月考]如图，在△ABC中，AB = AC = 1，BC = $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，在AC边上截取AD = BC，连接BD.
（1）通过计算，判断AD²与AC·CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数.

答案： 【解】
(1)
∵AD = BC，BC = $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴AD = $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∴CD = 1 - $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ = $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
∴AD² = $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，AC·CD = 1×$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ = $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
∴AD² = AC·CD.
(2)
∵AD = BC，AD² = AC·CD，
∴BC² = AC·CD，即$\frac{BC}{AC}$ = $\frac{CD}{BC}$. 又
∵∠C = ∠C，
∴△BCD∽△ACB.
∴$\frac{BD}{CB}$ = $\frac{AB}{AC}$ = 1，∠DBC = ∠A.
∴DB = CB = AD.
∴∠A = ∠ABD，∠C = ∠BDC. 设∠A = x，则∠ABD = x，∠DBC = x，
∴∠C = ∠BDC = 2x.
∵∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
∴x + 2x + 2x = 180°. 解得x = 36°.
∴∠ABD = 36°.

12. 新视角 动点探究题 如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC = 10 cm，BC = 16 cm. 点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1 cm/s. 连接DE，设运动时间为t s（0＜t＜10）. 解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5 cm²；
（2）在点D，E的运动过程中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t的值；若不存在，请说明理由.

答案：
【解】
(1)分别过点D，A作DF⊥BC，AG⊥BC，垂足为F，G，如图所示，
∴DF//AG.
∴$\frac{DF}{AG}$ = $\frac{BD}{AB}$.
∵AB = AC = 10 cm，BC = 16 cm，
∴BG = 8 cm.
∴易得AG = 6 cm. 由题意易得AD = BE = t cm，
∴BD = (10 - t)cm.
∴$\frac{DF}{6}$ = $\frac{10 - t}{10}$，解得DF = $\frac{3}{5}$(10 - t)cm.
∵S_{△BDE} = $\frac{1}{2}$BE·DF = 7.5 cm²，
∴$\frac{3}{5}$(10 - t)·t = 15，解得t = 5.
∴当t为5时，△BDE的面积为7.5 cm².
(2)存在. 理由如下：①当BE = DE时，△BDE∽△BCA，
∴$\frac{BE}{AB}$ = $\frac{BD}{BC}$，即$\frac{t}{10}$ = $\frac{10 - t}{16}$，解得t = $\frac{50}{13}$；②当BD = DE时，△BDE∽△BAC，
∴$\frac{BE}{BC}$ = $\frac{BD}{AB}$，即$\frac{t}{16}$ = $\frac{10 - t}{10}$，解得t = $\frac{80}{13}$.
∴存在时间t，使得△BDE与△ABC相似，对应的时间t的值为$\frac{50}{13}$或$\frac{80}{13}$.