《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

11. [2024·淄博二中模拟]如图，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的矩形. 若$x = 1$，则$y=$（ ）

A. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C. $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
D. $\sqrt{2}+1$

答案： A [点拨]依题意得(x + y)² = x(x + y + x)，整理得y² - x² + xy = 0，方程两边同时除以x²，则$(\frac{y}{x})² - 1 + \frac{y}{x} = 0$，解得$\frac{y}{x} = \frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵$\frac{y}{x}$不能为负，
∴$\frac{y}{x} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
又
∵x = 1，
∴y = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.故选A.

12. [2024·烟台模拟]如图，点$A$在数轴的负半轴，点$B$在数轴的正半轴，且点$A$对应的数是$2x - 1$，点$B$对应的数是$x^{2}+x$，已知$AB = 5$，则$x$的值为_______.

答案： $\frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ [点拨]根据题意，得x² + x - (2x - 1) = 5，
整理，得x² - x - 4 = 0，
∵a = 1,b = -1,c = -4，
∴b² - 4ac = (-1)² - 4×1×(-4) = 17＞0，则x = $\frac{-b±\sqrt{b² - 4ac}}{2a}$ = $\frac{1±\sqrt{17}}{2}$.
∴x₁ = $\frac{1 + \sqrt{17}}{2}$，x₂ = $\frac{1 - \sqrt{17}}{2}$.
∵点A在数轴的负半轴，
∴2x - 1＜0，即x＜$\frac{1}{2}$.
∴x = $\frac{1 - \sqrt{17}}{2}$.

13. 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-2\sqrt{3}x - 1 = 0$；
(2)$\sqrt{2}x^{2}+4\sqrt{3}x + 6\sqrt{2}=0$；
(3)$(x - 1)^{2}+\sqrt{2}(x - 1)-1 = 0$.

答案： 【解】
(1)
∵x² - 2$\sqrt{3}$x - 1 = 0，
∴a = 1,b = -2$\sqrt{3}$,c = -1.
∴b² - 4ac = (-2$\sqrt{3}$)² - 4×1×(-1) = 16＞0.
∴x = $\frac{-b±\sqrt{b² - 4ac}}{2a}$ = $\frac{2\sqrt{3}±\sqrt{16}}{2}$ = $\sqrt{3}$±2.
∴x₁ = $\sqrt{3}$ + 2，x₂ = $\sqrt{3}$ - 2.
(2)
∵$\sqrt{2}$x² + 4$\sqrt{3}$x + 6$\sqrt{2}$ = 0，
∴a = $\sqrt{2}$,b = 4$\sqrt{3}$,c = 6$\sqrt{2}$.
∴b² - 4ac = (4$\sqrt{3}$)² - 4×$\sqrt{2}$×6$\sqrt{2}$ = 0.
∴x = $\frac{-4\sqrt{3}±0}{2\sqrt{2}}$，即x₁ = x₂ = -$\sqrt{6}$.
(3)原方程化成一般形式为x² + ($\sqrt{2}$ - 2)x - $\sqrt{2}$ = 0，
∵a = 1,b = $\sqrt{2}$ - 2,c = -$\sqrt{2}$，
∴b² - 4ac = ($\sqrt{2}$ - 2)² - 4×1×(-$\sqrt{2}$) = 6＞0.
∴x = $\frac{-b±\sqrt{b² - 4ac}}{2a}$ = $\frac{-( \sqrt{2} - 2)±\sqrt{6}}{2}$ = $\frac{2 - \sqrt{2}±\sqrt{6}}{2}$，即x₁ = $\frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$ = 1 + $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$，x₂ = $\frac{2 - \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$ = 1 - $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$.

14. 已知$a,b,c$均为实数，且$\sqrt{a^{2}-2a + 1}+\vert b + 1\vert+(c + 3)^{2}=0$，求方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根.

答案： 【解】依题意，得a² - 2a + 1 = 0,b + 1 = 0且c + 3 = 0，
∴a = 1,b = -1,c = -3.
代入方程可得x² - x - 3 = 0，
∵a = 1,b = -1,c = -3，
∴b² - 4ac = (-1)² - 4×1×(-3) = 13＞0.
∴x = $\frac{1±\sqrt{13}}{2}$，即x₁ = $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$，x₂ = $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$.

15. 核心素养 推理能力 如图，四边形$ACDE$是证明勾股定理时用到的一个图形，$a,b,c$是$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BED$的边长，易知$AE=\sqrt{2}c$，这时我们把关于$x$的形如$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0(a＞0)$的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
(1)试判断方程$\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{10}x+\sqrt{3}=0$是不是“勾系一元二次方程”；
(2)求关于$x$的“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0(a＞0)$的实数根；
(3)当$c = 2$，且$Rt\triangle ABC$的面积为1时，求证：$x = -1$是“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$的根.

答案：
(1)【解】
∵a = $\sqrt{2}$,b = $\sqrt{3}$,a² + b² = c²，
∴c = $\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{2}$c = $\sqrt{10}$.
故方程$\sqrt{2}$x² + $\sqrt{10}$x + $\sqrt{3}$ = 0是“勾系一元二次方程”.
(2)【解】根据题意，得判别式为($\sqrt{2}$c)² - 4ab = 2c² - 4ab = 2(a - b)²，
∴±$\sqrt{2(a - b)²}$ = ±$\sqrt{2}$(a - b).
由求根公式得$x_{1}=\frac{-\sqrt{2}c+\sqrt{2}(a - b)}{2a}=\frac{\sqrt{2}a-\sqrt{2}b-\sqrt{2}c}{2a}$，$x_{2}=\frac{-\sqrt{2}c-\sqrt{2}(a - b)}{2a}=\frac{-\sqrt{2}a+\sqrt{2}b-\sqrt{2}c}{2a}$.
(3)【证明】当c = 2时，即有a² + b² = 4①，
由Rt△ABC的面积为1，得ab = 2②，
① - ②×2，得(a - b)² = 0，即a = b.
∴a = b = $\sqrt{2}$.
∴原方程为$\sqrt{2}$x² + 2$\sqrt{2}$x + $\sqrt{2}$ = 0，
即x² + 2x + 1 = 0，解得x = -1.
故x = -1是“勾系一元二次方程”ax² + $\sqrt{2}$cx + b = 0的根.