《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 若一元二次方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的两个根是$x_1,x_2$，则$x_1x_2$的值是（ ）
A. 3
B. -3
C. -4
D. 4

答案： A

2. [2024·日照东港区三模]若$x_1,x_2$是方程$x^{2}-6x - 7 = 0$的两个根，则（ ）
A. $x_1 + x_2 = 6$
B. $x_1 + x_2 = -6$
C. $x_1x_2=\frac{7}{6}$
D. $x_1x_2 = 7$

答案： A

3. 母题 教材P72随堂练习T3 已知一元二次方程$x^{2}-5x + 2m = 0$有一个根为2，则另一个根为（ ）
A. -7
B. -3
C. 7
D. 3

答案： D

4. 已知方程$x^{2}+bx + 3 = 0$的一个根为$\sqrt{5}+\sqrt{2}$，则方程的另一个根为________.

答案： $\sqrt{5}-\sqrt{2}$

5. [2024·菏泽模拟]若$\alpha,\beta$是一元二次方程$3x^{2}+2x - 9 = 0$的两个根，则$\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$的值是（ ）
A. $\frac{4}{27}$
B. $-\frac{4}{27}$
C. $-\frac{58}{27}$
D. $\frac{58}{27}$

答案： C　[点拨]
∵α,β是一元二次方程$3x^{2}+2x - 9 = 0$的两个根，
∴$\alpha+\beta=-\frac{2}{3}$，$\alpha\beta=-3$。
∴$\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\beta^{2}+\alpha^{2}}{\alpha\beta}=\frac{(\alpha + \beta)^{2}-2\alpha\beta}{\alpha\beta}=\frac{(-\frac{2}{3})^{2}-2\times(-3)}{-3}=-\frac{58}{27}$。故选C。

6. 如果$m,n$是两个不相等的实数，且满足$m^{2}-m = 3,n^{2}-n = 3$，那么代数式$2n^{2}-mn + 2m + 2025$的值为（ ）
A. 2025
B. 2036
C. 2026
D. 2034

答案： B　[点拨]
∵m,n是两个不相等的实数，且满足$m^{2}-m = 3$，$n^{2}-n = 3$，
∴m,n是方程$x^{2}-x - 3 = 0$的两个不相等的实数根，$n^{2}=n + 3$。根据根与系数的关系，可知$m + n = 1$，$mn=-3$，
∴$2n^{2}-mn + 2m+2025=2(n + 3)-mn + 2m+2025=2n + 6-mn + 2m+2025=2(m + n)-mn+2031=2×1-(-3)+2031=2 + 3+2031=2036$。故选B。

7. [2024·烟台]若一元二次方程$2x^{2}-4x - 1 = 0$的两根为$m,n$，则$3m^{2}-4m + n^{2}$的值为______.

答案： 6　[点拨]
∵一元二次方程$2x^{2}-4x - 1 = 0$的两根为m,n，
∴$2m^{2}-4m = 1$，$m + n=-\frac{-4}{2}=2$，$mn=-\frac{1}{2}$，
∴$3m^{2}-4m+n^{2}=2m^{2}-4m+m^{2}+n^{2}=1+(m + n)^{2}-2mn=1+2^{2}-2\times(-\frac{1}{2})=6$。

8. [2024·淄博张店区月考]已知一元二次方程$x^{2}+px + q = 0$有两根分别为2，-1，则$p,q$的值分别为（ ）
A. $p = 1,q = 2$
B. $p = -1,q = 2$
C. $p = 1,q = -2$
D. $p = -1,q = -2$

答案： D　[点拨]
∵一元二次方程$x^{2}+px + q = 0$的两根分别为2, - 1，根据根与系数的关系得$-p = 2+( - 1)=1$，$q=2×( - 1)= - 2$。
∴$p=-1$，$q=-2$。故选D。

9. [2024·乐山]若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x + p = 0$的两根为$x_1,x_2$，且$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，则$p$的值为（ ）
A. $-\frac{2}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. -6
D. 6

答案： A　[点拨]
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+p = 0$的两根为$x_1$，$x_2$，
∴$x_1 + x_2=-2$，$x_1x_2=p$。
∵$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，
∴$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}=3$，即$\frac{-2}{p}=3$，解得$p=-\frac{2}{3}$。

10. 关于$x$的方程$x^{2}+(k^{2}-4)x + k + 1 = 0$的两个实数根互为相反数，则（ ）
A. $k = \pm2$
B. $k = 2$
C. $k\geq -1$
D. $k = -2$

答案： D

11. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}=0$有两个实数根$x_1$和$x_2$.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若方程的两实数根$x_1,x_2$满足$x_1x_2 - x_1^{2}-x_2^{2}=-9$，求实数$k$的值.

答案： [解]
(1)由题意得$\Delta=[-(2k + 1)]^{2}-4k^{2}\geqslant0$，解得$k\geqslant-\frac{1}{4}$。
(2)根据题意，得$x_1 + x_2=2k + 1$，$x_1x_2=k^{2}$，
∵$x_1x_2 - x_1^{2}-x_2^{2}=-9$，
∴$x_1x_2 - [(x_1 + x_2)^{2}-2x_1x_2]=-9$，即$-(x_1 + x_2)^{2}+3x_1x_2=-9$，则$-(2k + 1)^{2}+3k^{2}=-9$。整理，得$k^{2}+4k - 8 = 0$，解得$k_1=-2 + 2\sqrt{3}$，$k_2=-2 - 2\sqrt{3}$。又
∵$k\geqslant-\frac{1}{4}$，
∴$k=-2 + 2\sqrt{3}$。

12. 若$x_1 + x_2 = 3,x_1^{2}+x_2^{2}=5$，则以$x_1,x_2$为根的一元二次方程可以是（ ）
A. $x^{2}-3x + 2 = 0$
B. $x^{2}+3x - 2 = 0$
C. $x^{2}+3x + 2 = 0$
D. $x^{2}-3x - 2 = 0$

答案： A　[点拨]
∵$x_1^{2}+x_2^{2}=5$，
∴$(x_1 + x_2)^{2}-2x_1x_2=5$。又
∵$x_1 + x_2=3$，
∴$9 - 2x_1x_2=5$。
∴$x_1x_2=2$。
∴以$x_1$，$x_2$为根的一元二次方程可以为$x^{2}-3x + 2 = 0$。

13. [2024·德州模拟]已知关于$x$的方程$x^{2}+bx + c = 0$的两根分别是$\sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1$，则（ ）
A. $b = 2\sqrt{2},c = 1$
B. $b = 2\sqrt{2},c = -1$
C. $b = -2\sqrt{2},c = -1$
D. $b = -2\sqrt{2},c = 1$

答案： D　[点拨]
∵关于x的方程$x^{2}+bx + c = 0$的两根分别是$\sqrt{2}+1$，$\sqrt{2}-1$，
∴$-b=\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}$，$c=(\sqrt{2}+1)\times(\sqrt{2}-1)=1$。
∴$b=-2\sqrt{2}$，$c=1$。

14. [2024·威海期末]在解方程$x^{2}+px + q = 0$时，小张看错了$p$，解得方程的根为1与-3；小王看错了$q$，解得方程的根为4与-2. 这个方程的根应该是________.

答案： $x_1=-1$，$x_2=3$　[点拨]根据根与系数的关系，得$q=-3×1=-3$，$p=-(-2 + 4)=-2$，则方程为$x^{2}-2x - 3 = 0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。