《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 如图，AC是矩形ABCD的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AC的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线EF交AD于点M，交BC于点N. 若AM = 8，DM = 2，则边AB的长为（ ）
A. 6 B. 10 C. $\sqrt{20}$ D. $\sqrt{60}$
　　　

答案： D

2. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE = 15°，则∠OBE的度数为________.
　　　

答案： 30°

3. 母题教材P18习题T2 如图，已知点M，O，N在同一直线上，OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，AB⊥OB，AC⊥OC，垂足分别为B，C，连接BC交AO于点E.
(1)求证：四边形ACOB是矩形.
(2)猜想BC与MN的位置关系，并证明你的结论.
　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)【证明】
∵OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，
∴∠AOM = 2∠AOB，∠AON = 2∠AOC.
∵点M，O，N在同一直线上，
∴∠AOM + ∠AON = 180°，
∴2∠AOB + 2∠AOC = 180°，
∴∠AOB + ∠AOC = 90°，
∴∠BOC = 90°.
∵AB⊥OB，AC⊥OC，
∴∠ABO = ∠ACO = 90° = ∠BOC，
∴四边形ACOB是矩形.
(2)【解】BC//MN.证明如下：
由
(1)知，四边形ACOB是矩形，
∴OE = CE，
∴∠AOC = ∠BCO.
∵OC是∠AON的平分线，
∴∠AOC = ∠NOC，
∴∠BCO = ∠NOC，
∴BC//MN.

4. 如图，在矩形ABCD中，AB = 5，BC = 4，将矩形折叠，使点B落在线段CD上的点F处，则线段BE的长为________.
　　　　　　　　

答案： 2.5

5. [2024·西安高新区阶段练习] 如图，点E是长方形ABCD的边AB上一点，将长方形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处. 若BE = 1，BC = 3，则CD的长为________.
　　　　　　　　　　　

答案： 5

6. 如图，矩形ABCD中，AB = 5，AD = 12，点P在对角线BD上，且BP = BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为________.
　　　　　　　

答案： $\sqrt{153}$ 【点拨】在矩形ABCD中，AB = 5，AD = 12，∠BAD = ∠BCD = 90°，
∴BD = $\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}$ = 13.
∵BP = BA = 5，
∴PD = BD - BP = 8.
∵BA = BP，
∴∠BAP = ∠BPA = ∠DPQ.
∵AB//CD，
∴∠BAP = ∠DQP，
∴∠DPQ = ∠DQP，
∴DQ = DP = 8，
∴CQ = DQ - CD = DQ - AB = 8 - 5 = 3.
在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
BQ = $\sqrt{BC^{2}+CQ^{2}}$ = $\sqrt{153}$.

7. 如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF = 90°，AD + CD = 10，AE = 2，则AD的长为________.
　　　　　　　　　　　

答案： 4

8. 如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC，BD是两根皮筋. 如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC = 90°时四边形A'BCD'是矩形，A'C和BD'相交于点O. 如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB = ________°.
　　　　　　　　　　

答案： 30