《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 如图，已知矩形ABCD，AD = 24，CD = 16，点R，P分别是DC，BC上的点，点E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从B向C移动，而点R不动时，若CR = 9，则EF =（ ）
A. 12
B. 12.5
C. 9
D. 不能确定
　　 　　　

答案： B

2. [2024·青岛实验初级中学月考]如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB，AD的垂线段PE，PF，则PE + PF等于_______.

答案： 8

3. [2024·长沙开福区模拟]如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE = 3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为_______.
　　　 　　　

答案：
6　[点拨]如图，连接DE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称.
∴易知DE的长即为BQ+QE的最小值.
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=AD=4.
又
∵AE=3，
∴BE=1.
又
∵DE=$\sqrt{AD^{2}+AE^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$，
∴△BEQ周长的最小值为DE+BE=5+1=6.

4. [2024·西安陕师大附中模拟]如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD = 60°，点E，F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF = 2，则DE + BF的最小值为_______.

答案：
$\sqrt{40}$　[点拨]如图，作DM//AC，使得DM=EF=2，连接FM，BM，BD.
∵DM=EF，DM//EF，
∴四边形DEFM是平行四边形.
∴DE=FM.
∴DE+BF=FM+FB.
根据两点之间线段最短可知，当点F为BM与AC的交点时，DE+BF的值最小，即为BM的长.
∵四边形ABCD是边长为6的菱形，
∴AB=6，BD⊥AC，AD=AB.
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴BD=AB=6.
∵DM//AC，
∴BD⊥DM.
∴BM=$\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\sqrt{40}$.
∴DE+BF的最小值为$\sqrt{40}$.

5. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB边上一动点，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D.
(1)当点E移动到AB中点时，矩形ECFG的面积是_______.
(2)在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积_______.（填序号）
①先变大后变小；
②先变小后变大；
③一直变大；
④保持不变.
　　　 　　　

答案：

(1)16　
(2)④
[点拨]
(1)如图，连接DE，
∵$S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}S_{正方形ABCD}$，$S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}CE\cdot GE=\frac{1}{2}S_{矩形ECGF}$，
∴$\frac{1}{2}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{2}S_{矩形ECGF}$.
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等.
又
∵正方形ABCD的边长为4，
∴矩形ECFG的面积是16.
(2)根据
(1)可以得到矩形ECFG的面积不变.

6. [2024·日照模拟]如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO = CO = 8，BO = DO = 6，点P为线段AC上的一个动点.
(1)AD = CD =_______.
(2)过点P分别作PM⊥AD于点M，作PH⊥DC于点H. 连接PB，在点P运动过程中，PM + PH + PB的最小值为_______.

答案：

(1)10　[点拨]
∵AC⊥BD于点O，
∴△AOD为直角三角形.
∴AD=$\sqrt{AO^{2}+OD^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$.
∵AC⊥BD，AO=CO，
∴CD=AD=10.
(2)$\frac{78}{5}$　[点拨]如图，连接PD.
∵AO=CO=8，
∴AC=16.
∵$S_{\triangle ADP}+S_{\triangle CDP}=S_{\triangle ADC}$，
∴$\frac{1}{2}AD\cdot PM+\frac{1}{2}DC\cdot PH=\frac{1}{2}AC\cdot OD$，即$\frac{1}{2}\times10PM+\frac{1}{2}\times10PH=\frac{1}{2}\times16\times6$.
∴PM+PH=$\frac{96}{10}=\frac{48}{5}$.
∴当PB最短时，PM+PH+PB有最小值.
∵由垂线段最短可知，当BP⊥AC时，PB最短，
∴当点P与点O重合时，PM+PH+PB有最小值，最小值为$\frac{48}{5}+6=\frac{78}{5}$.

7. 如图，矩形ABCD中，AD = 3，AB = 4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，求PQ的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： [解]连接CM.
∵MP⊥CD，MQ⊥BC，
∴∠CPM=∠CQM=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=3，CD=AB=4，∠BCD=90°.
∴BD=$\sqrt{BC^{2}+CD^{2}} = 5$，四边形PCQM是矩形.
∴PQ=CM.
当CM⊥BD时，CM最小，即PQ最小，
此时，$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot CM=\frac{1}{2}BC\cdot CD$，
∴CM=$\frac{BC\cdot CD}{BD}=\frac{3\times4}{5}=\frac{12}{5}$.
∴PQ的最小值为$\frac{12}{5}$.