《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

11. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，求BG的长.

答案：
[解]如图，连接AG,EG,由题意，可得AG=EG.
∵E是CD的中点，
∴DE=CE=4.设CG=x,则BG=8 - x,在Rt△ABG和Rt△GCE中,根据勾股定理,得AB²+BG²=AG²,EG²=CE²+CG²,

∴8²+(8 - x)²=4²+x²,解得x=7,
∴BG=1.

12. 如图，已知正方形ABCD和正方形DEFG，连接AE，CG相交于点H.
(1)求证：AE = CG；
(2)连接HD，求证：HD平分∠AHG.

答案： [证明]
(1)
∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，
∴AD=CD,ED=GD,∠ADC=∠EDG=90°.
∴∠ADC+∠CDE=∠EDG+∠CDE,即∠ADE=∠CDG,在△ADE和△CDG中，$\begin{cases}AD = CD,\\\angle ADE = \angle CDG,\\ED = GD,\end{cases}$
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE=CG.
(2)过点D分别作DM⊥AE于点M,DN⊥CG于点N，由
(1)得△ADE≌△CDG,
∴DM=DN.
∵DM⊥AE,DN⊥CG,
∴在Rt△DMH和Rt△DNH中,$\begin{cases}DH = DH,\\DM = DN,\end{cases}$
∴Rt△DMH≌Rt△DNH(HL),
∴∠MHD=∠NHD,
∴HD平分∠AHG.

13. 如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB = PE，连接PD，O为AC的中点.

(1)如图①，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
(2)如图②，当点P在线段OC上时(点P不与点O，C重合)，(1)中的猜想还成立吗？请说明理由；
(3)如图③，当点P在AC的延长线上时，请你在图③中画出相应的图形，判断(1)中的猜想是否成立，并说明理由.

答案：
[解]
(1)PE=PD,PE⊥PD.
(2)
(1)中的猜想还成立，理由如下:如图①.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°,∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠DCE=90°.又
∵AP=AP,
∴△ABP≌△ADP,
∴PB=PD,∠ADP=∠ABP.
∴∠CDP=∠CBP.又
∵PB=PE,
∴PE=PD,∠CBP=∠PEC,
∴∠PEC=∠CDP.
∵∠1=∠2,
∴∠DPE=∠DCE=90°,
∴PE⊥PD.


(3)
(1)中的猜想还成立，如图②.同
(2)理可证△ABP≌△ADP,
∴PB=PD,∠ADP=∠ABP,
∴∠CDP=∠CBP.又
∵PB=PE,
∴PE=PD,∠CBP=∠PEC.
∴∠PEC=∠PDC.
∵∠1=∠2,
∴∠DPE=∠DCE=90°,
∴PE⊥PD.