《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 如图，在菱形ABCD中，∠B = 40°，点E是AB边上一点，将△BEC沿直线CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的F处，则∠BCE的度数是（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
　　

答案： A 【点拨】
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D = ∠B = 40°，BC = CD，AD//BC.
由翻折知CF = BC，∠BCE = ∠FCE = $\frac{1}{2}$∠BCF，
∴CD = CF.
∴∠CFD = ∠D = 40°.
∵AD//BC，
∴∠BCF = ∠CFD = 40°.
∴∠BCE = $\frac{1}{2}$∠BCF = 20°.

2. [2024·保定莲池区期末] 如图，正方形ABCD中，AB = 6，将△ADE沿直线AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（ ）
A. 1 B. 1.5
C. 2 D. 2.5
　　

答案：
C 【点拨】如图，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = CD = BC = AB = 6，∠B = ∠C = ∠D = 90°.
由折叠得DE = EF，AD = AF，∠AFE = ∠D = 90°，
∴∠B = ∠AFG = 90°，AF = AB.
又
∵AG = AG,

∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL).
∴BG = GF.
又
∵G是BC边的中点，
∴GF = BG = GC = 3.
设EF = DE = x，则CE = 6 - x，
GE = GF + EF = 3 + x.
在Rt△ECG中，由勾股定理得CE² + CG² = GE²，
∴(6 - x)² + 3² = (3 + x)²，解得x = 2，即ED的长是2.

3. [2024·威海] 如图，将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C'处，折痕为MN，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E. 若BM = 3，BC' = 4，AC' = 3，则DN = ________.
　　　

答案： $\frac{3}{2}$ 【点拨】在矩形ABCD中，∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，AB = CD，AD = BC. 在Rt△C'BM中，C'M = $\sqrt{C'B^{2}+BM^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$.
由折叠可得CM = C'M = 5，D'N = DN，C'D' = CD，
∠D'C'M = ∠D' = ∠D = ∠C = 90°，
∴∠BC'M + ∠AC'E = 90°.
∵∠A = 90°，
∴∠AEC' + ∠AC'E = 90°.
∴∠BC'M = ∠AEC'.
又
∵AC' = BM = 3，∠A = ∠B，
∴△BC'M≌△AEC'.
∴AE = BC' = 4，C'E = MC' = 5.
∵C'D' = CD = AB = 7，AD = BC = BM + CM = 3 + 5 = 8，
∴DE = AD - AE = 8 - 4 = 4，D'E = C'D' - C'E = 7 - 5 = 2.
设D'N = DN = a，则EN = 4 - a.
在Rt△D'EN中，NE² = D'E² + D'N²，即
(4 - a)² = 2² + a²，解得a = $\frac{3}{2}$，即DN = $\frac{3}{2}$.

4. [2024·河南] 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（－2，0），点E在边CD上. 将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处. 若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为________.
　　　

答案： (3，10)

5. 如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图②，过点D作DG//BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AD = AB + 2，BD = 10，求四边形BFDG的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)【证明】根据折叠，得∠DBC = ∠DBE.
又
∵矩形ABCD中，AD//BC，
∴∠DBC = ∠ADB.
∴∠DBE = ∠ADB.
∴DF = BF.
∴△BDF是等腰三角形.
(2)【解】①四边形BFDG是菱形.
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC.
∴FD//BG.
又
∵DG//BF，
∴四边形BFDG是平行四边形.
由
(1)知DF = BF，
∴四边形BFDG是菱形.
②在Rt△ABD中，AD = AB + 2，BD = 10，且BD² = AD² + AB²，
∴10² = (AB + 2)² + AB²，
∴AB = 6，
∴AD = 8.
∵BF² = AF² + AB²，DF = BF，
∴DF² = (8 - DF)² + 6²，解得DF = $\frac{25}{4}$，
∴四边形BFDG的面积为$\frac{25}{4}\times6=\frac{75}{2}$.

6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC = 4，BD = 16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
C 【点拨】如图，连接AB'.
∵四边形ABCD是菱形，
AC = 4，BD = 16，

∴AC⊥BD，AO = OC = $\frac{1}{2}$AC = 2，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD = 8.
∴∠AOB = 90°.
由平移知O'C = OA = 2，O'B' = OB = 8，∠CO'B' = ∠AOB = 90°，
∴AO' = AC + O'C = 6.
∴AB' = $\sqrt{O'B'^{2}+AO'^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$.