《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

15. [2024·成都]若$m,n$是一元二次方程$x^{2}-5x + 2 = 0$的两个实数根，则$m+(n - 2)^{2}$的值为________.

答案： 7　[点拨]
∵m,n是一元二次方程$x^{2}-5x + 2 = 0$的两个实数根，
∴$m^{2}-5m + 2 = 0$，$m + n=5$。
∴$m^{2}-5m=-2$，$n=5 - m$。
∴$m+(n - 2)^{2}=m+(3 - m)^{2}=m^{2}-5m + 9=-2 + 9=7$。

16. 已知$m^{2}-2m - 1 = 0,n^{2}+2n - 1 = 0$，且$mn\neq1$，则$\frac{mn + n + 1}{n}$的值为________.

答案： 3　[点拨]由$n^{2}+2n - 1 = 0$可知$n≠0$，
∴$1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}}=0$，
∴$\frac{1}{n^{2}}-\frac{2}{n}-1=0$，又
∵$m^{2}-2m - 1 = 0$，且$mn≠1$，即$m≠\frac{1}{n}$，
∴m，$\frac{1}{n}$是方程$x^{2}-2x - 1 = 0$的两个实数根，
∴$m+\frac{1}{n}=2$，
∴$\frac{mn + n + 1}{n}=m + 1+\frac{1}{n}=2 + 1=3$。

17. 设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^{2}-4x + k + 1 = 0$的两个实数根，是否存在实数$k$，使得$x_1x_2＞x_1 + x_2$成立？若存在，求出$k$的值；若不存在，请说明理由.

答案： [解]不存在。理由：由题意得$\Delta=16 - 4(k + 1)\geqslant0$，解得$k\leqslant3$。
∵$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^{2}-4x + k + 1 = 0$的两个实数根，
∴$x_1 + x_2=4$，$x_1x_2=k + 1$。
∵$x_1x_2＞x_1 + x_2$，
∴$k + 1＞4$。
∴$k＞3$。
∴不存在实数k使得$x_1x_2＞x_1 + x_2$成立。

18. [2024·南充]已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若$k＜5$，且$k,x_1,x_2$都是整数，求$k$的值.

答案： [解]
(1)
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta=(-2k)^{2}-4×1×(k^{2}-k + 1)=4k^{2}-4k^{2}+4k - 4=4k - 4＞0$，解得$k＞1$。
(2)
∵$1＜k＜5$，
∴整数k的值为2，3，4。当$k = 2$时，方程为$x^{2}-4x + 3 = 0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，易得当$k = 3$或4时，方程的根不为整数。综上所述，k的值为2。

19. [2024·内江]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px + 1 = 0$（$p$为常数）有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$.
(1)填空：$x_1 + x_2 =$________，$x_1x_2 =$________；
(2)求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2},x_1+\frac{1}{x_1}$；
(3)已知$x_1^{2}+x_2^{2}=2p + 1$，求$p$的值.

答案： [解]
(1)p；1
(2)
∵$x_1 + x_2=p$，$x_1x_2=1$，
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}=p$。由题意，得$x_1^{2}-px_1 + 1 = 0$，且$x_1≠0$，
∴$x_1 - p+\frac{1}{x_1}=0$，即$x_1+\frac{1}{x_1}=p$。
(3)
∵$x_1^{2}+x_2^{2}=2p + 1$，
∴$(x_1 + x_2)^{2}-2x_1x_2=2p + 1$。
∴$p^{2}-2=2p + 1$，解得$p_1=3$，$p_2=-1$。当$p = 3$时，$\Delta=p^{2}-4=9 - 4=5＞0$；当$p=-1$时，$\Delta=p^{2}-4=-3＜0$。
∴$p = 3$。

20. 核心素养 推理能力 关于$x$的一元二次方程$a(1 - x^{2})-2\sqrt{2}bx + c(1 + x^{2}) = 0$中，$a,b,c$是$Rt\triangle ABC$的三条边，其中$\angle C = 90^{\circ}$.
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是$x_1,x_2$，且$x_1^{2}+x_2^{2}=12$，求$a:b:c$.

答案：
(1)[证明]将方程整理为一般形式，得$(c - a)x^{2}-2\sqrt{2}bx+a + c = 0$，
∴$\Delta=(-2\sqrt{2}b)^{2}-4(a + c)(c - a)=4(2b^{2}+a^{2}-c^{2})$。
∵a,b,c是$Rt\triangle ABC$的三条边，其中$\angle C = 90^{\circ}$，
∴$b^{2}+a^{2}-c^{2}=0$。
∴$2b^{2}+a^{2}-c^{2}=b^{2}＞0$。
∴$\Delta=4(2b^{2}+a^{2}-c^{2})=4b^{2}＞0$。
∴此方程有两个不相等的实数根。
(2)[解]
∵方程的两个根是$x_1$，$x_2$，
∴$x_1 + x_2=\frac{2\sqrt{2}b}{c - a}$，$x_1x_2=\frac{a + c}{c - a}$。
∵$x_1^{2}+x_2^{2}=12$，
∴$(x_1 + x_2)^{2}-2x_1x_2=12$，即$\frac{8b^{2}}{(c - a)^{2}}-\frac{2a + 2c}{c - a}=12$。
∵$b^{2}=c^{2}-a^{2}$，
∴$\frac{8(c^{2}-a^{2})}{(c - a)^{2}}-\frac{2a + 2c}{c - a}=12$。
∴$\frac{8(c + a)}{c - a}-\frac{2a + 2c}{c - a}=12$。
∴$\frac{6(c + a)}{c - a}=12$。
∴$c + a=2c - 2a$。
∴$3a=c$。
∴$b^{2}=8a^{2}$。
∴$b = 2\sqrt{2}a$。
∴$a:b:c=1:2\sqrt{2}:3$。