《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 若△ABC和△A'B'C'相似，AB = 7，BC = 5，CA = 3，A'B'=$\frac{7}{3}$，B'C' = 1，C'A'=$\frac{5}{3}$，则（ ）
A. ∠A = ∠A'
B. ∠A = ∠B'
C. ∠A = ∠C'
D. 不能确定

答案： B

2. 已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF与△ABC相似时，△DEF的另两边长可以是（ ）
A. 2 cm，3 cm
B. 4 cm，5 cm
C. 5 cm，6 cm
D. 6 cm，7 cm

答案： C

3. 有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，乙三角形木框的三边长分别为5，$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，则甲、乙两个三角形（ ）
A. 一定相似
B. 一定不相似
C. 不一定相似
D. 无法判断

答案： A

4. 母题教材P105习题T3如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）

A. ①和②
B. ②和③
C. ①和③
D. ②和④

答案： C

5. 母题教材P105习题T2如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似，并说明理由.

答案： 【解】相似.理由如下：
在△ABC中，AB = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，AC = $\sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$，BC = $\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
在△DEF中，DE = $\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，FE = $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，FD = $\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$.
∵$\frac{AB}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{AC}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{BC}{FD}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴$\frac{AB}{EF}=\frac{AC}{ED}=\frac{BC}{FD}$.
∴△BAC∽△FED.

6. [2024·菏泽期中]已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m + n的值为（ ）
A. 10+$\sqrt{7}$或5 + 2$\sqrt{7}$
B. 15
C. 10+$\sqrt{7}$
D. 15 + 3$\sqrt{7}$

答案： A
【点拨】当3,4为直角边长，6,8也为直角边长时，易知这两个直角三角形相似，不合题意；当4和8分别为两个直角三角形的斜边长时，m = $\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，n = $\sqrt{8^{2}-6^{2}} = 2\sqrt{7}$，
∵$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}=\frac{1}{2}$，
∴这两个直角三角形相似，不合题意；当3,4为直角边长，8为斜边长时，m = $\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，n = $\sqrt{8^{2}-6^{2}} = 2\sqrt{7}$，此时这两个直角三角形不相似，故m + n = 5 + 2\sqrt{7}；当6,8为直角边长，4为斜边长时，n = $\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$，m = $\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，此时这两个直角三角形不相似，故m + n = 10 + $\sqrt{7}$.故选A.

7. 一个三角形木架的三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，用长为60 cm和120 cm的两根木条，做一个与其相似的三角形木架，要求以其中一根作为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A. 一种
B. 两种
C. 三种
D. 四种

答案： B
【点拨】根据三角形的三边关系可知，长为120cm的木条不能作为一边，设从长为120cm的木条上截下的两段的长分别为xcm，ycm(x＜y，x + y≤120)，易知长为60cm的木条不能与长为75cm的一边对应.当长为60cm的木条与长为100cm的一边对应时，$\frac{x}{75}=\frac{y}{90}=\frac{60}{100}$，解得x = 45，y = 72；当长为60cm的木条与长为120cm的一边对应时，$\frac{x}{75}=\frac{y}{60}=\frac{60}{120}$，解得x = 37.5，y = 50.故不同的截法有两种.

8. [2024·济南槐荫区期末]在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“馬走日”的规则，“馬”落在下列哪个位置，能使“馬”“車”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帥”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ）

A. ①
B. ②
C. ③
D. ④

答案： B
【点拨】“帥”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2，$2\sqrt{5}$，$4\sqrt{2}$；“車”“炮”之间的距离为1，“炮②”之间的距离为$\sqrt{5}$，“車②”之间的距离为$2\sqrt{2}$.
∵$\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
∴“馬”应该落在②的位置.故选B.

9. [2024·淄博周村区模拟]如图，线段AB，CD的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点M.若每个小正方形的边长都是1，则$\frac{MC}{MD}$的值是________.

答案：
$\frac{12}{7}$
【点拨】如图，取格点J，K，连接AJ，JD，BK.设AB交格线JK于点O.
∵AJ//BK，
∴易得△AJO∽△BKO.
∴JO:OK = AJ:BK = 1:3.
∴OK = $\frac{3}{4}$，
∴OD = DK + OK = $\frac{7}{4}$.
连接BC.
∵DO//BC，
∴易得△DOM∽△CBM.
∴$\frac{DM}{CM}=\frac{DO}{BC}=\frac{\frac{7}{4}}{3}=\frac{7}{12}$，
∴$\frac{MC}{MD}=\frac{12}{7}$.