《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 把一元二次方程$x(x + 1)=3x + 2$化为一般形式，正确的是( )
A. $x^{2}-2x - 2 = 0$
B. $x^{2}-2x + 2 = 0$
C. $x^{2}-3x - 1 = 0$
D. $x^{2}+4x + 3 = 0$

答案： A

2. 用配方法解一元二次方程$x^{2}-4x - 5 = 0$，则方程可变形为( )
A. $(x - 2)^{2}=9$
B. $(x + 2)^{2}=9$
C. $(x + 2)^{2}=1$
D. $(x - 2)^{2}=1$

答案： A

3. 若关于$x$的一元二次方程$(a + 2)x^{2}+x + a^{2}-4 = 0$的一个根是$x = 0$，则$a$的值为( )
A. 2
B. -2
C. 2或 -2
D. $\frac{1}{2}$

答案： D

4. 观察下面的表格，可得一元二次方程$x^{2}-x = 1.4$的一个近似解是( )

A. $x = 0.11$
B. $x = 1.6$
C. $x = 1.7$
D. $x = 1.8$

答案： B

5. [2024·泰安]关于$x$的一元二次方程$2x^{2}-3x + k = 0$有实数根，则实数$k$的取值范围是( )
A. $k＜\frac{9}{8}$
B. $k\leqslant\frac{9}{8}$
C. $k\geqslant\frac{9}{8}$
D. $k＜-\frac{9}{8}$

答案： A

6. 关于$x$的一元二次方程$(k - 1)x^{2}+2kx + 1 = 0$的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： A

7. 已知菱形$ABCD$的两条对角线的长是方程$x^{2}-7x + 12 = 0$的两个根，则菱形$ABCD$的面积为( )
A. 6
B. 7.5
C. 10
D. 12.5

答案： B

8. 已知$m$为方程$x^{2}+3x - 2025 = 0$的一个根，则$m^{3}+2m^{2}-2028m + 2025$的值为( )
A. -2023
B. 0
C. 2023
D. 4046

答案： B

9. [2024·常州期末]一元二次方程$(x - 1)^{2}=x - 1$的根为_______.

答案： $x_{1}=1,x_{2}=2$

10. [2024·菏泽阶段练习]若$(m + 1)x^{|m - 1|}+2x - 1 = 0$是关于$x$的一元二次方程，则$m =$_______.

答案： 3

11. 已知正比例函数$y=\frac{5}{13}x$的图象上有一个点$M$，点$M$的横坐标是方程$x^{2}+6x - 91 = 0$的根，则点$M$的纵坐标为_______.

答案： $\frac{35}{13}$或−5

12. [2024·济宁阶段练习]已知关于$x$的方程$ax^{2}-bx - c = 0(a\neq0)$的系数满足$4a - 2b - c = 0$，且$c - a - b = 0$，则该方程的根是_______.

答案： $x_{1}=-1,x_{2}=2$

13. (8分)用适当的方法解下列方程：
(1)$(3x + 2)^{2}-36 = 0$；
(2)$2x^{2}=3(2x - 5)$；
(3)$3x^{2}-3 = 6x$；
(4)$(1 + x)^{2}+(1 + x)=12$.

答案： [解]
(1)$(3x + 2)^{2}-36 = 0$，移项，得$(3x + 2)^{2}=36$，
∴$3x + 2 = ±6$，
∴$x_{1}=\frac{4}{3},x_{2}=-\frac{8}{3}$。
(2)$2x^{2}=3(2x - 5)$，方程可变形为$2x^{2}-6x + 15 = 0$。
∵$\Delta=(-6)^{2}-4×2×15=-84＜0$，
∴该方程无实数根。
(3)$3x^{2}-3 = 6x$，化简，得$x^{2}-1 = 2x$，方程可变形为$(x - 1)^{2}=2$，
∴$x_{1}=1+\sqrt{2},x_{2}=1-\sqrt{2}$。
(4)$(1 + x)^{2}+(1 + x)=12$，方程可变形为$x^{2}+3x - 10 = 0$。
∵$\Delta=3^{2}-4×1×(-10)=49＞0$，
∴$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2×1}=\frac{-3±7}{2}$。
∴$x_{1}=-5,x_{2}=2$。