《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

11. 若$a\lt0$，则化简$2\sqrt{ab^{3}}-3\sqrt{a^{3}b}$的结果是 （ ）
A. $(2b - 3a)\sqrt{ab}$
B. $(-2b - 3a)\sqrt{ab}$
C. $(-2b + 3a)\sqrt{ab}$
D. $(2b + 3a)\sqrt{ab}$

答案： C【点拨】由题意可知$ab^3\geq0$,$a^3b\geq0$.又
∵ a ＜ 0,
∴b≤0.
∴$2\sqrt{ab^3}-3\sqrt{a^3b}=-2b\sqrt{ab}+3a\sqrt{ab}=(-2b + 3a)\sqrt{ab}$.

12. 能使得$\sqrt{(3 - a)(a + 1)}=\sqrt{3 - a}\cdot\sqrt{a + 1}$成立的所有整数$a$的和是________.

答案： 5【点拨】由题意得$\begin{cases}3 - a\geq0\\a + 1\geq0\end{cases}$,解得-1≤ a≤3.
又
∵ a是整数,
∴ a可以取-1,0,1,2,3.
∴它们的和是-1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5.

13. 化简二次根式：$\sqrt{\frac{8x^{2}}{y^{3}}}=$________$(x\geqslant0)$.

答案： $\frac{2x\sqrt{2y}}{y^2}$【点拨】
∵$\frac{8x^2}{y^3}\geq0$,且 x≥0,
∴y ＞ 0.
∴原式=$\sqrt{\frac{8x^2y}{y^3\cdot y}}=\frac{2x\sqrt{2y}}{y^2}$.

14. 下列计算正确的是 （ ）
A. $\sqrt{18}+\sqrt{2}=2\sqrt{5}$
B. $\sqrt{18}-\sqrt{2}=4$
C. $\sqrt{18}\times\sqrt{2}=36$
D. $\sqrt{18}\div\sqrt{2}=3$

答案： D

15. 计算：
(1)$(\sqrt{24}+\sqrt{18})\div\sqrt{2}+(6-\sqrt{3})\times\sqrt{\frac{1}{12}}$；
(2)$(-\frac{1}{\sqrt{2}})^{-1}+(2-\sqrt{5})^{2025}(2+\sqrt{5})^{2026}+\sqrt{8}$.

答案： 【解】
(1)原式=$\sqrt{\frac{24}{2}}+\sqrt{\frac{18}{2}}+\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{4}}$
=$2\sqrt{3}+3+\sqrt{3}-\frac{1}{2}$
=$3\sqrt{3}+\frac{5}{2}$.
(2)原式=$-\sqrt{2}+(2 - \sqrt{5})^{2025}(2 + \sqrt{5})^{2025}\times(2 + \sqrt{5})+2\sqrt{2}$
=$-\sqrt{2}+[(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})]^{2025}\times(2 + \sqrt{5})+2\sqrt{2}$
=$-\sqrt{2}+(4 - 5)^{2025}\times(2 + \sqrt{5})+2\sqrt{2}$
=$-\sqrt{2}-(2 + \sqrt{5})+2\sqrt{2}$
=$\sqrt{2}-2 - \sqrt{5}$

16. 比较$\sqrt{103}-\sqrt{102}$与$\sqrt{102}-\sqrt{101}$的大小.

答案： 【解】
∵$\frac{1}{\sqrt{103}-\sqrt{102}}=\frac{\sqrt{103}+\sqrt{102}}{(\sqrt{103}-\sqrt{102})(\sqrt{103}+\sqrt{102})}=\sqrt{103}+\sqrt{102}$,
$\frac{1}{\sqrt{102}-\sqrt{101}}=\frac{\sqrt{102}+\sqrt{101}}{(\sqrt{102}-\sqrt{101})(\sqrt{102}+\sqrt{101})}=\sqrt{102}+\sqrt{101}$,
$\sqrt{103}+\sqrt{102}＞\sqrt{102}+\sqrt{101}$
∴$\frac{1}{\sqrt{103}-\sqrt{102}}＞\frac{1}{\sqrt{102}-\sqrt{101}}$.
又
∵$\sqrt{103}-\sqrt{102}＞0$,$\sqrt{102}-\sqrt{101}＞0$,
∴$\sqrt{103}-\sqrt{102}＜\sqrt{102}-\sqrt{101}$

17. 已知$a = 3+\sqrt{2}$，$b = 3-\sqrt{2}$，分别求下列代数式的值：
(1)$a^{2}-b^{2}$；
(2)$a^{2}-2ab + b^{2}$.

答案： 【解】
(1)
∵a = 3 + $\sqrt{2}$,b = 3 - $\sqrt{2}$,
∴a + b = 3 + $\sqrt{2}$+3 - $\sqrt{2}$ = 6,a - b = 3 + $\sqrt{2}$-3 + $\sqrt{2}$ = $2\sqrt{2}$
∴$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)=6\times2\sqrt{2}=12\sqrt{2}$
(2)由
(1)知a - b = $2\sqrt{2}$,
∴$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2=(2\sqrt{2})^2=8$.

18. 已知$x = 3+2\sqrt{2}$，求$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+6x+\frac{6}{x}+7$的值.

答案： 【解】原式=$x^2+2+\frac{1}{x^2}+6(x+\frac{1}{x})+5=(x+\frac{1}{x})^2+6(x+\frac{1}{x})+5=(x+\frac{1}{x}+1)(x+\frac{1}{x}+5)$.
∵x = 3 + $2\sqrt{2}$,
∴$\frac{1}{x}=\frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}=3 - 2\sqrt{2}$
∴$x+\frac{1}{x}=3 + 2\sqrt{2}+3 - 2\sqrt{2}=6$.
∴原式=(6 + 1)×(6 + 5)=77.

19. [2024·泰安泰山区期中] 有一张长为$16\sqrt{2}$ cm，宽为$8\sqrt{2}$ cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形.
(1)若小正方形的边长为$\sqrt{2}$ cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
(2)在(1)的条件下，求这个长方体盒子的侧面积.

答案： 【解】
(1)制作成的无盖长方体盒子的体积为$(16\sqrt{2}-2\sqrt{2})\times(8\sqrt{2}-2\sqrt{2})\times\sqrt{2}=14\sqrt{2}\times6\sqrt{2}\times\sqrt{2}=168\sqrt{2}(cm^3)$.
(2)这个长方体盒子的侧面积为$16\sqrt{2}\times8\sqrt{2}-4\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}-(16\sqrt{2}-2\sqrt{2})\times(8\sqrt{2}-2\sqrt{2})=256 - 8 - 168 = 80(cm^2)$.