《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 计算：$(\sqrt{5}-3)^2-(2\sqrt{5}-\sqrt{7})(2\sqrt{5}+\sqrt{7})$

答案： 【解】原式 = 5 - 6$\sqrt{5}$ + 9 - 20 + 7 = 1 - 6$\sqrt{5}$.

2. 已知$x = 2-\sqrt{3}$，求代数式$x^2+(4 + 2\sqrt{3})x+4\sqrt{3}$的值.

答案： 【解】原式 = $x^{2}+2\sqrt{3}x + 3+4x + 4\sqrt{3}-3=(x+\sqrt{3})^{2}+4(x+\sqrt{3})-3=(2-\sqrt{3}+\sqrt{3})^{2}+4\times(2-\sqrt{3}+\sqrt{3})-3=4 + 8 - 3 = 9$.

3. 已知$x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}},y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，求$3x^2-5xy + 3y^2$的值.

答案： 【解】由题意,得 $xy = 1,x + y = 10$,所以原式 = $3x^{2}+6xy+3y^{2}-11xy=3(x + y)^{2}-11xy=3\times10^{2}-11\times1 = 289$.

4. 新考法 阅读类比法 像$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}},\sqrt{48-\sqrt{45}},\cdots$这样的根式叫做复合二次根式. 有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$
$=\sqrt{3 - 2\sqrt{3}+1}$
$=\sqrt{(\sqrt{3})^2-2\times\sqrt{3}\times1 + 1^2}$
$=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}$
$=\sqrt{3}-1$.

请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：$\sqrt{12 + 2\sqrt{35}}$；
(2)化简：$\sqrt{16 - 4\sqrt{15}}$；
(3)若$a + 6\sqrt{5}=(m+\sqrt{5}n)^2$，且$a,m,n$为正整数，求$a$的值.

答案： 【解】
(1)$\sqrt{12 + 2\sqrt{35}}=\sqrt{7+2\sqrt{35}+5}=\sqrt{(\sqrt{7})^{2}+2\times\sqrt{7}\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{7}+\sqrt{5}$.
(2)$\sqrt{16 - 4\sqrt{15}}=\sqrt{2}\times\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}=\sqrt{2}\times\sqrt{5 - 2\sqrt{15}+3}=\sqrt{2}\times\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-2\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{2}\times(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{10}-\sqrt{6}$.
(3)
∵$a + 6\sqrt{5}=(m+\sqrt{5}n)^{2}=m^{2}+5n^{2}+2\sqrt{5}mn$,
∴$a = m^{2}+5n^{2}$, $mn = 3$.
又
∵$m$, $n$为正整数，
∴$m = 1$, $n = 3$或$m = 3$, $n = 1$.
当$m = 1$, $n = 3$时，$a = 46$;
当$m = 3$, $n = 1$时，$a = 14$.
综上所述，$a$的值为46或14.

5. 已知$x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},y=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，求下列各式的值：
(1)$x^2-y^2$；
(2)$x^2+xy + y^2$.

答案： 【解】$x=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
$y=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
则$x + y = (\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$, $x - y = (\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$, $xy = (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 1$.
(1)$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)=2\sqrt{3}\times2\sqrt{2}=4\sqrt{6}$
(2)$x^{2}+xy+y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}-xy=(x + y)^{2}-xy=(2\sqrt{3})^{2}-1 = 11$.