《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

12. 新考法 阅读类比法 阅读下列材料，并解决问题：
小明同学在一次数学活动中发现，存在一组都不为0的数$a$，$b$，$c$，$d$，使得$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立（即$a$，$b$，$c$，$d$成比例）. 小明同学还有新的发现：
若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}$（分比性质）.
已知①$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$；②$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$.
(1)仿照上述材料，从①②中选一组数据写出分比性质等式；
(2)证明(1)中的分比性质等式成立.

答案： [解]
(1)(写一组即可)①若$\frac{a}{c}$=$\frac{b}{d}$,则$\frac{a−c}{c}$=$\frac{b−d}{d}$.②若$\frac{b}{a}$=$\frac{d}{c}$,则$\frac{b−a}{a}$=$\frac{d−c}{c}$.
(2)(写一组即可)①若$\frac{a}{c}$=$\frac{b}{d}$,则$\frac{a−c}{c}$=$\frac{b−d}{d}$.
　　证明:设$\frac{a}{c}$=$\frac{b}{d}$=k,则a=kc,b=kd,
　
∴$\frac{a−c}{c}$=$\frac{kc−c}{c}$=k−1,$\frac{b−d}{d}$=$\frac{kd−d}{d}$=k−1.
　
∴$\frac{a−c}{c}$=$\frac{b−d}{d}$.
　　②若$\frac{b}{a}$=$\frac{d}{c}$,则$\frac{b−a}{a}$=$\frac{d−c}{c}$.
　　证明:设$\frac{b}{a}$=$\frac{d}{c}$=n,则b=na,d=nc,
　
∴$\frac{b−a}{a}$=$\frac{na−a}{a}$=n−1,$\frac{d−c}{c}$=$\frac{nc−c}{c}$=n−1.
　
∴$\frac{b−a}{a}$=$\frac{d−c}{c}$.

13. 已知非负数$a$，$b$，$c$满足$\frac{a - 1}{2}=\frac{b - 2}{3}=\frac{3 - c}{4}$，设$S = a + 2b + 3c$，求$S$的取值范围.

答案： [解]设$\frac{a−1}{2}$=$\frac{b−2}{3}$=$\frac{3−c}{4}$=k,则a=2k+1,b=3k+2,c=3−4k,
∴S=a+2b+3c=(2k+1)+2(3k+2)+3(3 −4k)=−4k+14.
　
∵−4＜0,
∴S随k的增大而减小.
　
∵a,b,c为非负数，
∴$\begin{cases}2k + 1\geq0 \\3k + 2\geq0 \\3 - 4k\geq0\end{cases}$，解得$-\frac{1}{2}\leq k\leq\frac{3}{4}$.
　
∴当k=$-\frac{1}{2}$时，S取最大值为−4k+14=−4×$(-\frac{1}{2})$+14=16;
　　当k=$\frac{3}{4}$时，S取最小值为−4k+14=−4×$\frac{3}{4}$+14=11.
　
∴S的取值范围是11≤S≤16.

14. 学科素养 运算能力 已知在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，有$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=\frac{2}{3}$，且$\triangle DEF$和$\triangle ABC$的周长之差为15 cm，求$\triangle ABC$和$\triangle DEF$的周长.

答案： [解]设△ABC和△DEF的周长分别是xcm和ycm.
∵$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{EF}$=$\frac{CA}{FD}$=$\frac{2}{3}$,
∴$\frac{AB+BC+CA}{DE+EF+FD}$=$\frac{x}{y}$=$\frac{2}{3}$①.由题意可得y−x=15②.
　　由①得x=$\frac{2}{3}$y③,
　　将③代入②,得y−$\frac{2}{3}$y=15,
　
∴y=45.将y=45代入③,得x=30.
　
∴△ABC和△DEF的周长分别是30cm和45cm.

15. 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{5}$（$b - d\neq0$，$2b + 3d - 4f\neq0$）.
(1)求$\frac{a - c}{b - d}$的值.
(2)求$\frac{2a + 3c - 4e}{2b + 3d - 4f}$的值.
(3)比较(1)(2)的结论，你发现了什么规律?

答案： [解]
(1)
∵$\frac{a}{b}$=$\frac{c}{d}$=$\frac{2}{5}$,
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{−c}{−d}$=$\frac{2}{5}$.
又
∵b−d≠0,
∴$\frac{a−c}{b−d}$=$\frac{2}{5}$.
(2)
∵$\frac{a}{b}$=$\frac{c}{d}$=$\frac{e}{f}$=$\frac{2}{5}$,
∴$\frac{2a}{2b}$=$\frac{3c}{3d}$=$\frac{−4e}{−4f}$=$\frac{2}{5}$.
又
∵2b+3d−4f≠0,
∴$\frac{2a+3c−4e}{2b+3d−4f}$=$\frac{2}{5}$.
(3)若$\frac{a}{b}$=$\frac{c}{d}$=$\frac{e}{f}$=k,则$\frac{la+mc+ne}{lb+md+nf}$=k(l,m,n不全为0,lb+md+nf≠0).