《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

14.(10分)[2024·济南历下区模拟]若最简二次根式$\sqrt[3x - 10]{2x + y - 5}$和$\sqrt{x - 3y + 11}$是同类二次根式.
(1)求$x,y$的值；
(2)求$x,y$平方和的算术平方根.

答案： [解]
(1)
∵最简二次根式$\sqrt{2x + y - 5}$和$\sqrt{x - 3y + 11}$是同类二次根式，
∴$\begin{cases}2x + y - 5 = x - 3y + 11 \\\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 4 \\y = 3 \\\end{cases}$。
(2)当x = 4，y = 3时，$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$。

15.(10分)新考法 阅读类比法【问题解决】
已知$x=\sqrt{5}+2$，求代数式$x^{2}-4x - 7$的值.
小敏的做法是：
根据$x=\sqrt{5}+2$，得$(x - 2)^{2}=5$，
$\therefore x^{2}-4x + 4 = 5$. $\therefore x^{2}-4x = 1$.
把$x^{2}-4x$作为整体代入，得$x^{2}-4x - 7 = 1 - 7 = - 6$.
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.
【迁移应用】
已知$x=\sqrt{5}-2$，求代数式$x^{2}+4x - 10$的值.

答案： [解]
∵x = $\sqrt{5} - 2$，
∴x + 2 = $\sqrt{5}$
∴原式 = $(x^{2} + 4x + 4) - 14 = (x + 2)^{2} - 14 = (\sqrt{5})^{2} - 14 = 5 - 14 = -9$。

16.(12分)新视角 规律探究题 观察下列等式：
第1个等式：$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}=1+(1-\frac{1}{2})$；
第2个等式：$\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}=1+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$；
第3个等式：$\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}=1+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$；….
按照以上规律，解决下列问题.
(1)写出第4个等式：______________________；
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的等式表示)；
(3)请用(2)中发现的规律计算：$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{2024^{2}}+\frac{1}{2025^{2}}}$.

答案： [解]
(1)$\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}} = 1 + \frac{1}{4×5}$
(2)第n个等式为$\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n + 1)^{2}}} = 1 + \frac{1}{n(n + 1)}$
(3)$\sqrt{1 + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{6^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{6^{2}} + \frac{1}{7^{2}}} + \cdots + \sqrt{1 + \frac{1}{2024^{2}} + \frac{1}{2025^{2}}}$
$= 1 + \frac{1}{4×5} + 1 + \frac{1}{5×6} + 1 + \frac{1}{6×7} + \cdots + 1 + \frac{1}{2024×2025}$
$= 2024 + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{2024} - \frac{1}{2025})$
$= 2024 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2025} = 2024\frac{2021}{8100}$