《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 在下列4×4的正方形网格中（如图），小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（ ）

答案： C

2. [2024·济南历下区期末]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$，则图中一定相似的三角形是（ ）

A. △BOA∽△BAD
B. △BOA∽△COD
C. △BOC∽△BCD
D. △COB∽△CBA

答案： B

3. 如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，AE = BE，连接DE，DB，那么有△AED∽（ ）

A. △BED
B. △ABD
C. △CBD
D. △ABC

答案： C

4. 如图，在□ABCD中，AB = 10，AD = 6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使△CBF∽△ABE，则DF的长是（ ）

A. 8.2
B. 6.4
C. 5
D. 1.8

答案： 【点拨】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC = AB = 10，BC = AD = 6.
∵E是AD的中点，AD = 6，
∴AE = $\frac{1}{2}$AD = 3. 又
∵△CBF∽△ABE，
∴$\frac{CF}{AE}$ = $\frac{BC}{BA}$，即$\frac{CF}{3}$ = $\frac{6}{10}$，解得CF = 1.8.
∴DF = DC - CF = 10 - 1.8 = 8.2. 故选A.

5. [2024济南钢城区期末]如图，P为△ABC的边AB上的一点，添加____________________，可以使△ABC与△APC相似.

答案： $\frac{AP}{AC}$ = $\frac{AC}{AB}$（答案不唯一）

6. 母题教材P102习题T2 如图，已知∠BAC = ∠EAD，AB = 20.4，AC = 48，AE = 17，AD = 40.
求证：△ABC∽△AED.

答案： 【证明】
∵AB = 20.4，AC = 48，AE = 17，AD = 40，
∴$\frac{AB}{AE}$ = $\frac{20.4}{17}$ = 1.2，$\frac{AC}{AD}$ = $\frac{48}{40}$ = 1.2.
∴$\frac{AB}{AE}$ = $\frac{AC}{AD}$. 又
∵∠BAC = ∠EAD，
∴△ABC∽△AED.

7. 易错题 在△ABC中，AB = 6，AC = 5，点D在边AB上，且AD = 2，点E在边AC上，当AE = ________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似.

答案： $\frac{12}{5}$或$\frac{5}{3}$ 【点拨】当$\frac{AE}{AB}$ = $\frac{AD}{AC}$时，
∵∠A = ∠A，
∴△AED∽△ABC. 此时AE = $\frac{AB\cdot AD}{AC}$ = $\frac{6×2}{5}$ = $\frac{12}{5}$；当$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AE}{AC}$时，
∵∠A = ∠A，
∴△ADE∽△ABC. 此时AE = $\frac{AC\cdot AD}{AB}$ = $\frac{5×2}{6}$ = $\frac{5}{3}$. 故答案为$\frac{12}{5}$或$\frac{5}{3}$.

8. 如图，在△ABC中，∠A = 78°，AB = 4，AC = 6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）

答案： C

9. 新考法 分类讨论法 如图，CD = 1，AE = 2，CE = 4，∠A = ∠ECD，点B在AC的延长线上，当△BCD与△ACE相似时，BC的长为________.

答案： 2或$\frac{1}{2}$ 【点拨】
∵∠BCD = 180° - ∠ACE - ∠ECD，∠E = 180° - ∠A - ∠ACE，∠A = ∠ECD，
∴∠E = ∠BCD. 当△BCD与△ACE相似时，有$\frac{AE}{CD}$ = $\frac{CE}{BC}$或$\frac{AE}{BC}$ = $\frac{CE}{CD}$.
∵CD = 1，AE = 2，CE = 4，
∴$\frac{2}{1}$ = $\frac{4}{BC}$或$\frac{2}{BC}$ = $\frac{4}{1}$.
∴BC = 2或BC = $\frac{1}{2}$.