《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 母题教材P59例3 用配方法解方程$2x^{2}-12x = 5$，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上 （ ）
A. 4 B. 9 C. 25 D. 36

答案： B

2. 用配方法解一元二次方程$2x^{2}-5x - 1 = 0$，配方正确的是 （ ）
A. $(x-\frac{5}{4})^{2}=\frac{33}{16}$ B. $(x-\frac{5}{4})^{2}=\frac{41}{16}$
C. $(x-\frac{5}{2})^{2}=\frac{27}{4}$ D. $(x-\frac{5}{2})^{2}=\frac{29}{4}$

答案： A

3. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A. $2x^{2}-7x - 4 = 0$化为$(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{81}{16}$
B. $2t^{2}-4t + 2 = 0$化为$(t - 1)^{2}=0$
C. $4y^{2}+4y - 1 = 0$化为$(y+\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}x^{2}-x - 4 = 0$化为$(x-\frac{3}{2})^{2}=\frac{59}{4}$

答案： D

4. [2024·聊城模拟] 用配方法解一元二次方程$3x^{2}+6x - 1 = 0$，将它化为$(x + a)^{2}=b$的形式，则$a + b$的值为 （ ）
A. $\frac{10}{3}$ B. $\frac{7}{3}$ C. 2 D. $\frac{4}{3}$

答案： B

5. 方程$3x^{2}-5x - 2 = 0$的两个根分别是（ ）
A. $1,\frac{2}{3}$ B. $2,-\frac{1}{3}$
C. $\pm1$ D. $-2,-\frac{1}{3}$

答案： B

6. 用配方法解下列方程：
(1)$2x^{2}-5x + 3 = 0$；
(2)$\frac{1}{2}x^{2}-8x+\frac{1}{2}=0$；
(3)$-3x^{2}-6x + 4 = 0$；
(4)$(2x + 3)(x - 6)=16$.

答案： 【解】
(1)方程化为$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}$，
配方，得$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$，
即$(x - \frac{5}{4})^{2}=\frac{1}{16}$，
$\therefore x - \frac{5}{4}=\pm\frac{1}{4}$.
$\therefore x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=1$.
(2)原方程可化为$x^{2}-16x=-1$.
配方，得$x^{2}-16x + 64=-1 + 64$，
即$(x - 8)^{2}=63$.
两边直接开平方，得$x - 8=\pm3\sqrt{7}$，
$\therefore x - 8=3\sqrt{7}$或$x - 8=-3\sqrt{7}$.
$\therefore x_{1}=8 + 3\sqrt{7},x_{2}=8 - 3\sqrt{7}$.
(3)方程化为$x^{2}+2x=\frac{4}{3}$，
配方，得$x^{2}+2x + 1=\frac{4}{3}+1$，
即$(x + 1)^{2}=\frac{7}{3}$，
$\therefore x + 1=\pm\frac{\sqrt{21}}{3}$.
$\therefore x_{1}=-1+\frac{\sqrt{21}}{3},x_{2}=-1-\frac{\sqrt{21}}{3}$.
(4)原方程化为一般形式为$2x^{2}-9x - 34=0$，
$x^{2}-\frac{9}{2}x=17$，
配方，得$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=17+\frac{81}{16}$，
即$(x - \frac{9}{4})^{2}=\frac{353}{16}$，
$\therefore x - \frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$.
$\therefore x_{1}=\frac{9 - \sqrt{353}}{4},x_{2}=\frac{9 + \sqrt{353}}{4}$.

7. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1. 在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道. 当矩形蔬菜温室的长与宽各为多少米时，蔬菜种植区域的面积是288 m²？
　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】设矩形蔬菜温室的宽为$x$m，则长为$2x$m.
根据题意得$(x - 2)(2x - 4)=288$.
解得$x_{1}=-10$(不合题意，舍去)，$x_{2}=14$，
$\therefore 2x=2×14=28$.
答：当矩形蔬菜温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m².

8. [2024·威海模拟] 若方程$25x^{2}-(k - 1)x + 1 = 0$的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为 （ ）
A. -9或11 B. -7或8
C. -8或9 D. -6或7

答案： A