《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

7. [2024·青岛市南区模拟] 如图，菱形ABCD沿射线AC平移，得到菱形EFGH，延长AD，GH相交于点M，延长AB，GF相交于点N，若AB = 3BN = 3，∠ABC = 120°，求EC的长.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】设EF与BC相交于点K.
∵AB = 3BN = 3，
∴BN = 1.
由平移的性质得到EF = AB = 3. 易得四边形BNFK是平行四边形，
∴FK = BN = 1.
∴EK = EF - FK = 2.
由平移知EK//AB，
∴∠EKC = ∠ABC = 120°，∠KEC = ∠BAC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC.
∴∠BCA = ∠BAC.
∴∠KEC = ∠KCE = 30°.
∴易得EC = $\sqrt{3}$EK = 2$\sqrt{3}$.

8. [新考法 分类讨论法] 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，等边三角形OEF绕点O旋转，在旋转过程中，当CF = DE时，∠AOF的度数为________.
　　　　　　　　

答案：
105°或75°
【点拨】当△EOF在点O右侧时，
∵△EOF是等边三角形，
∴OE = OF，∠EOF = 60°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD = OC，∠AOD = ∠COD = 90°.
在△DOE和△COF中，$\begin{cases}OD = OC\\OE = OF\\DE = CF\end{cases}$，
∴△DOE≌△COF(SSS).
∴∠DOE = ∠COF.
∴∠DOF = ∠COE = $\frac{1}{2}$(90° - 60°) = 15°.
∴∠AOF = ∠AOD + ∠DOF = 105°；
如图，当△EOF在点O左侧时，
同理△DOE≌△COF(SSS)，
∴∠DOE = ∠COF = $\frac{1}{2}$(360° - 90° - 60°) = 105°.
∴∠AOE = ∠DOE - ∠AOD = 15°.
∴∠AOF = ∠AOE + ∠EOF = 15° + 60° = 75°.

综上，∠AOF的度数为105°或75°.

9. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD. 将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处. 请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？并说明理由.
(3)在满足(2)的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明.
　　　　　　

答案：

(1)【证明】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB = BC = AC.
∵点B，D关于直线AC对称，
∴DC = BC，AD = AB，
∴AB = BC = CD = DA，
∴四边形ABCD是菱形.
(2)【解】当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：
由题易知PQ = PD.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60°，
连接PB，过点P分别作PE//CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，如图，
则∠APE = ∠ACB = 60°，∠AEP = ∠ABC = 60°，
∴∠BAC = ∠APE = ∠AEP = 60°.
∴△APE是等边三角形.
又
∵PF⊥AB，
∴∠APF = ∠EPF.
∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，
∴PB = PD，∠DPA = ∠BPA.
∴PQ = PB.
又
∵PF⊥AB，
∴∠QPF = ∠BPF，
∴∠QPF - ∠APF = ∠BPF - ∠EPF，
即∠QPA = ∠BPE.
∴∠DPQ = ∠DPA - ∠QPA = ∠BPA - ∠BPE = ∠EPA = 60°.
(3)【解】AQ = CP，证明如下：
由
(2)知△APE是等边三角形，
∴AP = AE = EP.
∵AC = AB，
∴AC - AP = AB - AE，即CP = BE.
∵AP = EP，PF⊥AB，
∴AF = FE.
∵PQ = PB，PF⊥AB，
∴QF = BF.
∴QF - AF = BF - EF，即AQ = BE.
∴AQ = CP.