《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 已知四边形ABCD中，∠A = ∠B = ∠C = 90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A. ∠D = 90°
B. AB = CD
C. AB = BC
D. AC = BD

答案： C

2. [2024·滨州期末]如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（ ）

A. 2条
B. 4条
C. 6条
D. 8条

答案： B

3. 在如图所示的平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为2，则点B的坐标为（ ）


A. (2,2)
B. (-2,-2)
C. (-2,0)
D. (-2,2)

答案： D

4. 如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三角形ABE，则∠BED的度数为（ ）


A. 55°
B. 45°
C. 42.5°
D. 40°

答案： B

5. [2024·聊城月考]矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等
B. 对角线平分一组对角
C. 对角线互相平分
D. 对角线互相垂直

答案： C

6. [2024·济宁任城区期末]如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME = ________.

答案： 45°

7. 母题教材P26习题T2如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC = 8，AE = CF = 2，则四边形BEDF的周长是________.

答案： 4$\sqrt{20}$　[点拨]连接BD，交AC于点O.易知四边形BEDF是菱形，
∵AC=8,AE=CF=2,
∴OE=OF=2.由题可知,BD=AC=8,
∴OD=OB=4.在Rt△ODE中,DE=$\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}$,
∴四边形BEDF的周长为4$\sqrt{20}$

8. [2024·临沂兰山区期中]如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE = 1，F为AB上的一点，AF = 2，P为AC上的一个动点，则PF + PE的最小值为________.

答案： $\sqrt{17}$　[点拨]在AD上取一点M,使得AM=2,易知点F,M关于直线AC对称.连接EM,交AC于点P'，连接P'F,易得ME=P'F+P'E,即EM的长为PF+PE的最小值.过点M作MN⊥BC于点N,由题意易知EN=BN - BE=AM - BE=2 - 1=1,MN=4,所以EM=$\sqrt{EN^{2}+MN^{2}}=\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}$

9. [2024·重庆B卷]如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF，交CD于点M. 若BE = DF = 1，则DM的长度为（ ）
A. 2
B. $\sqrt{5}$
C. $\sqrt{6}$
D. $\frac{12}{5}$

答案： D　[点拨]
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°,AB=AD=CD=BC=4.又
∵BE=DF=1,
∴△ABE≌△ADF(SAS).
∴AE=AF.
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM=∠FAM.又
∵AM=AM,
∴△AEM≌△AFM(SAS).
∴EM=FM.设DM=x,则EM=FM=DM+DF=x+1,CM=CD - DM=4 - x,在Rt△CEM中,由勾股定理得EM²=CE²+CM²,
∴(x+1)²=(4 - 1)²+(4 - x)²,解得x=$\frac{12}{5}$.
∴DM=$\frac{12}{5}$.

10. [2024·东营月考]如图，在直角坐标系中，正方形ABCD按如图的方式摆放，若顶点A，B的坐标分别为(a,0)，(0,b)，则顶点D的坐标为________.

答案：
(a - b, - a)　[点拨]如图，过点D作DE⊥x轴于点E,则∠AED=90°.
∴∠DAE+∠ADE=90°.
∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD,∠BAD=90°.
∴∠BAO+∠DAO=90°.
∴∠ADE=∠OAB.又
∵∠AOB=∠DEA=90°,AB=AD,
∴△ABO≌△DAE(AAS).
∴DE=OA,AE=OB.
∵点A,B的坐标分别为(a,0),(0,b)，
∴OA=a,OB=b.
∴DE=a,AE=b.
∴OE=b - a.
∴顶点D的坐标为(a - b, - a).