《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. [2024·济南章丘区期末]一元二次方程$x^{2}=-x$的根为（ ）
A. $x=-1$
B. $x=0$
C. $x_{1}=1,x_{2}=2$
D. $x_{1}=0,x_{2}=-1$

答案： D

2. [2024·日照月考]方程$x^{2}+x - 12 = 0$的两个根为（ ）
A. $x_{1}=-2,x_{2}=6$
B. $x_{1}=-6,x_{2}=2$
C. $x_{1}=-3,x_{2}=4$
D. $x_{1}=-4,x_{2}=3$

答案： D

3. 方程$(x - 2)^{2}=2x(x - 2)$的根是（ ）
A. $x_{1}=2,x_{2}=1$
B. $x_{1}=2,x_{2}=-2$
C. $x_{1}=2,x_{2}=0$
D. $x_{1}=2,x_{2}=-1$

答案： B

4. 若一元二次方程$x^{2}-8x - 33 = 0$的两根为$a$，$b$，且$a＞b$，则$a - 2b$的值为（ ）
A. -25
B. -19
C. 5
D. 17

答案： D

5. [2024·烟台蓬莱区期末]关于$x$的一元二次方程的两个根为 -1和2，这个一元二次方程为________.

答案： $x^{2}-x - 2 = 0$(答案不唯一)

6. 三角形每条边的长都是方程$x^{2}-9x + 18 = 0$的根，则三角形的周长是________.

答案： 15或9或18

7. 用因式分解法解下列方程.
(1)$x^{2}-5x + 6 = 0$； (2)$(x + 1)(x - 3)=12$.

答案： [解]
(1)$x^{2}-5x + 6 = 0$，
原方程可变形为$(x - 2)(x - 3)=0$，
$x - 2 = 0$，或$x - 3 = 0$.
$\therefore x_{1}=2,x_{2}=3$.
(2)$(x + 1)(x - 3)=12$，
原方程可变形为$x^{2}-2x - 3 = 12$，
$x^{2}-2x - 15 = 0$，
$(x - 5)(x + 3)=0$，
$x - 5 = 0$，或$x + 3 = 0$.
$\therefore x_{1}=5,x_{2}=-3$.

8. 下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是（ ）
A. $(x - 2)(x + 5)=2$
B. $2x^{2}-x = 0$
C. $x^{2}+5x - 2 = 0$
D. $12(2 - x)^{2}=3$

答案： B

9. 选择合适的方法解下列方程.
(1)$x^{2}-3x - 2 = 0$； (2)$2x^{2}-4x - 16 = 0$.
(3)$(x - 1)^{2}=2(1 - x)$.

答案： [解]
(1)$x^{2}-3x - 2 = 0$，
这里$a = 1,b = -3,c = -2$.
$\because\Delta=b^{2}-4ac=9 + 8 = 17＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$，
即$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.
(2)$2x^{2}-4x - 16 = 0$，
两边都除以2，得$x^{2}-2x - 8 = 0$，
$(x - 4)(x + 2)=0$，$x - 4 = 0$，或$x + 2 = 0$.
$\therefore x_{1}=4,x_{2}=-2$.
(3)$(x - 1)^{2}=2(1 - x)$，
原方程可变形为$(x - 1)^{2}+2(x - 1)=0$，
$(x - 1)(x - 1 + 2)=0$，
$(x - 1)(x + 1)=0$，
$x - 1 = 0$，或$x + 1 = 0$.
$\therefore x_{1}=1,x_{2}=-1$.

10. [2024·济南市中区模拟]下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题.
解一元二次方程：$6x^{2}-2x = 1 - 3x$.
解：原方程可化为$2x(3x - 1)=-(3x - 1)$，第一步
两边同时除以$(3x - 1)$，得$2x=-1$，第二步
系数化为1，得$x=-\frac{1}{2}$. 第三步
任务：
(1)小明的解法是不正确的，他从第________步开始出现了错误；
(2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程.

答案： [解]
(1)二
(2)$6x^{2}-2x = 1 - 3x$，
原方程可化为$2x(3x - 1)=-(3x - 1)$，
$2x(3x - 1)+(3x - 1)=0$，
$(2x + 1)(3x - 1)=0$，
$2x + 1 = 0$，或$3x - 1 = 0$.
$\therefore x_{1}=-\frac{1}{2},x_{2}=\frac{1}{3}$.
点方法：方程两边不能除以含有未知数的代数式，否则就会丢根。