《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

11. （10分）[2024·遂宁]已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$.
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，求m的值.

答案：
(1)[证明]$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$，这里$a = 1$，$b=-(m + 2)$，$c = m - 1$，$\Delta =b^{2}-4ac=[-(m + 2)]^{2}-4\times1\times(m - 1)=m^{2}+4m + 4 - 4m + 4=m^{2}+8$。
∵$m^{2}\geq0$，
∴$\Delta＞0$。
　
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2)[解]由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=m + 2$，$x_{1}x_{2}=m - 1$。
　
∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，
∴$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$，
　
∴$(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9$。
　　整理，得$m^{2}+m - 2 = 0$。
　
∴$(m + 2)(m - 1)=0$，解得$m_{1}=-2$，$m_{2}=1$。
　
∴m的值为$-2$或$1$。

12. （12分）[2024·泰安泰山区模拟]社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示（单位：m）. 已知$AD = 52$ m，$AB = 28$ m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x m的道路. 已知铺花砖的面积为640 m².
(1)道路的宽是_______m；
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位. 当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10 125元？
　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)6　　[点拨]根据题意，得$(52 - 2x)(28 - 2x)=640$，整理，得$x^{2}-40x + 204 = 0$，
∴$(x - 34)(x - 6)=0$，解得$x_{1}=34$（不合题意，舍去），$x_{2}=6$。
∴道路的宽是$6m$。
(2)设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10125元，
　根据题意，得$(200 + a)(50-\frac{a}{5})=10125$，整理，得$a^{2}-50a + 625 = 0$，解得$a_{1}=a_{2}=25$。
　答：当每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元。

13. （14分）[2024·上海崇明区期末]某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)商店想在销售成本不超过3 800元的情况下，使销售利润达到3 000元，销售单价应定为多少？
　　　　　　　　　　

答案：
(1)设y与x之间的函数关系式为$y = kx + b(k≠0)$，则$\begin{cases}40k + b = 160\\20k + b = 200\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 2\\b = 240\end{cases}$，
　
∴y与x之间的函数关系式是$y = - 2x + 240$。
(2)根据题意，得$(x - 40)\times(-2x + 240)=3000$，
　解得$x_{1}=70$，$x_{2}=90$。
　又
∵销售成本不超过3800元，
　
∴$40(-2x + 240)\leq3800$，解得$x\geq72.5$。
∴$x = 90$。
　
∴商店想在销售成本不超过3800元的情况下，使销售利润达到3000元，销售单价应定为90元/千克。

14. （14分）[2024·东营月考]如图，在△ABC中，∠C = 90°，$AC = 8$ cm，$BC = 4$ cm，一动点P从点C出发沿着CB边向B以1 cm/s的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC边向C以2 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t s.
(1)若△PCQ的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$，求t的值.
(2)△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)根据题意得$AQ = 2tcm$，$CP = tcm$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times4\times8 = 16(cm^{2})$，
∴$CQ=(8 - 2t)cm$。
∴$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}t(8 - 2t)cm^{2}$，
∴$\frac{1}{2}t(8 - 2t)=16\times\frac{1}{4}$，解得$t_{1}=t_{2}=2$。
　
∴t的值为2。
(2)不能。理由如下：当$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$时，$\frac{1}{2}t(8 - 2t)=16\times\frac{1}{2}$，整理，得$t^{2}-4t + 8 = 0$。
　
∵$\Delta =(-4)^{2}-4\times1\times8=-16＜0$，
∴此方程没有实数根。
∴$\triangle PCQ$的面积不能为$\triangle ABC$面积的一半。