《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 关于x的方程$x^{2}-mx - 3 = 0$的一个根是$x_{1}=3$，则它的另一个根$x_{2}$是（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2

答案： C

2. 母题教材P74随堂练习某活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上，如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？设小路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A. $(40 - 2x)(28 - x)=128×6$
B. $(40 - 2x)(28 - x)=128$
C. $(40 - x)(28 - 2x)=128×6$
D. $(40 - x)(28 - 2x)=128$
　　　　　　　　　　　　　

答案： A

3. [2024·菏泽模拟]市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格. 某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，这种药品平均每次降价的百分率是（ ）
A. 10％
B. 15％
C. 20％
D. 25％

答案： C

4. [2024·日照模拟]已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2x - a = 0$的两根分别记为$x_{1},x_{2}$，若$x_{1}=-1$，则$a - x_{1}^{2}-x_{2}^{2}$的值为（ ）
A. 7
B. -7
C. 6
D. -6

答案： B　　[点拨]
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2x - a = 0$的两根分别记为$x_{1},x_{2}$，
∴$x_{1}+x_{2}=2$。
∵$x_{1}=-1$，
∴$x_{2}=3$。
∴$x_{1}\cdot x_{2}=-a=-3$，
∴$a = 3$。
∴$a - x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=3 - 1 - 9=-7$。

5. 若关于x的方程$ax^{2}+bx + c = 0(a≠0)$的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程$a(y - 2)^{2}+b(y - 2)+c = 0$的两根之积是（ ）
A. $2p + q + 4$
B. $2p - q + 4$
C. $q - 2p + 4$
D. $q - 2p - 4$

答案： A　　[点拨]设关于x的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根分别为$x_{1},x_{2}$，关于y的方程$a(y - 2)^{2}+b(y - 2)+c = 0$的两个根分别为$y_{1},y_{2}$。
∵关于x的方程$ax^{2}+bx + c = 0 (a≠0)$的两根之和为p，两根之积为q，
∴$x_{1}+x_{2}=p$，$x_{1}x_{2}=q$。
∴$(y_{1}-2)+(y_{2}-2)=p$，$(y_{1}-2)(y_{2}-2)=q$，化简，得$y_{1}+y_{2}=p + 4$，$y_{1}y_{2}-2(y_{1}+y_{2})+4=q$，整理可得，$y_{1}y_{2}=2p+q + 4$。

6. [2024·石家庄一模]已知关于x的一元二次方程$(p + 1)x^{2}+2qx+(p + 1)=0$（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论：①1和-1都是方程$x^{2}+qx + p = 0$的根；②0可能是方程$x^{2}+qx + p = 0$的根；③-1可能是方程$x^{2}+qx + p = 0$的根；④1一定不是方程$x^{2}+qx + p = 0$的根. 其中正确的是（ ）
A. ①②
B. ③④
C. ②③
D. ①④

答案： C　　[点拨]
∵关于x的一元二次方程$(p + 1)x^{2}+2qx+(p + 1)=0$（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴$p + 1≠0$且$(2q)^{2}-4(p + 1)^{2}=0$，
∴$p≠ - 1$，$q=p + 1$或$q=-(p + 1)$。当$q=p + 1$时，有$p - q + 1 = 0$，此时$-1$是方程$x^{2}+qx + p = 0$的根；当$q=-(p + 1)$时，有$p + q + 1 = 0$，此时$1$是方程$x^{2}+qx + p = 0$的根。
∵$p + 1≠0$，
∴$p + 1≠-(p + 1)$。
∴$1$和$-1$不都是关于x的方程$x^{2}+qx + p = 0$的根。
∴①是错误的，③是正确的，④是错误的，
∵当$p = 0$时，$0$是方程$x^{2}+qx + p = 0$的根，
∴②是正确的，故选C。

7. [2024·眉山]已知方程$x^{2}+x - 2 = 0$的两根分别为$x_{1},x_{2}$，则$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$的值为_______.

答案： $\frac{1}{2}$

8. [新考向 数学文化]《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”. 意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多_______步.

答案： 6

9. 如图，小明同学用一张长10 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为18 cm²的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）. 设剪去的正方形的边长为x cm，则可列出关于x的方程为________________.
　　

答案： $(10 - 2x)(7 - 2x)=18$

10. [新趋势 学科内综合]欧几里得的《原本》记载，形如$x^{2}+ax = b^{2}$的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB = 90°，$BC=\frac{a}{2}$，$AC = b$，再在斜边AB上截取$BD=\frac{a}{2}$，则该方程的一个正根是_______的长.
　　　

答案： AD　　[点拨]利用勾股定理得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}=(AD + DB)^{2}$，将$BC=\frac{a}{2}$，$AC = 6$，$BD=\frac{a}{2}$代入，整理得$AD^{2}+a\cdot AD=b^{2}$，与原方程比较，可得AD的长是方程$x^{2}+ax=b^{2}$的一个正根。