《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 如图，一个长为15 m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的距离为12 m，如果梯子的顶端下滑了1 m，那么梯子的底端B也向后滑动1 m吗？试列出方程解答此问题.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】由题意得$AB = A'B' = 15\ m$，$OA = 12\ m$，$AA' = 1\ m$。根据勾股定理得$OB^{2}=AB^{2}-OA^{2}$，$\therefore OB=\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}} = 9(m)$。设梯子的底端$B$向后滑动了$x\ m$，根据题意，得$(12 - 1)^{2}+(9 + x)^{2}=15^{2}$，即$(9 + x)^{2}=104$，$\therefore x_{1}=2\sqrt{26}-9$，$x_{2}=-2\sqrt{26}-9$(不合题意,舍去)，即梯子的底端$B$向后滑动了$(2\sqrt{26}-9)m$，故题目中结论不成立。

2. [2024·聊城期末]如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 30 cm，BC = 21 cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1 cm/s，且同时出发，那么运动______s时，它们相距15 cm.
　　　　　　　　　　　　

答案： 9或12【点拨】设运动$t\ s$时，$P$，$Q$两点相距$15\ cm$，则$CP=t\ cm$，$CQ=(21 - t)cm$，依题意，得$t^{2}+(21 - t)^{2}=15^{2}$，解得$t_{1}=9$，$t_{2}=12$，$\therefore$运动$9\ s$或$12\ s$时，$P$，$Q$两点相距$15\ cm$。

3. 如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处，甲沿着喀什路以4 m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3 m/s的速度由南向北走，当乙走到O点以北50 m处时，甲恰好到点O处，若两人继续向前行走，求两个人相距85 m时各自的位置.
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　

答案： 【解】设经过$x\ s$时两人相距$85\ m$，根据题意得$(4x)^{2}+(50 + 3x)^{2}=85^{2}$，整理，得$x^{2}+12x - 189 = 0$，解得$x_{1}=9$，$x_{2}=-21$(不合题意,舍去)。当$x = 9$时，$4x = 36$，$50 + 3x = 77$，$\therefore$当两人相距$85\ m$时，甲在$O$点以东$36\ m$处，乙在$O$点以北$77\ m$处。

4. 母题教材P79习题T2如图，在△ABC中，∠B = 90°，AB = 6 cm，BC = 7 cm. 点P从点B开始沿边BA向点A以2 cm/s的速度移动，同时点Q从点C开始沿边CB向点B以1 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止. 当四边形APQC的面积为11 cm²时，点P的运动时间为（ ）
A. 1 s
B. 1 s或2.5 s
C. 2 s
D. 2 s或5 s
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 4.C【点拨】设当四边形$APQC$的面积为$11\ cm^{2}$时，点$P$的运动时间为$x\ s$，由题意得$PB = 2x\ cm$，$CQ = x\ cm$，则$BQ = BC - CQ = (7 - x)cm$，由题意，得$\frac{1}{2}×6×7 - \frac{1}{2}×2x×(7 - x)=11$，整理得$x^{2}-7x + 10 = 0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=5$(不符合题意,舍去)，$\therefore x = 2$，即当四边形$APQC$的面积为$11\ cm^{2}$时，点$P$的运动时间为$2\ s$。

5. 如图，在矩形ABCD中，AB = 6 cm，BC = 7 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t s，多少秒后△BPQ的面积等于5 cm²？
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】由题意，得$AP = t\ cm$，$BQ = 2t\ cm$，则$PB = (6 - t)cm$，$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore \angle B = 90^{\circ}$。$\because \triangle PBQ$的面积等于$5\ cm^{2}$，$\therefore \frac{1}{2}×2t×(6 - t)=5$，解得$t_{1}=1$，$t_{2}=5$。当$t = 5$时，$BQ = 10\ cm ＞ 7\ cm$，$\therefore t = 5$不符合题意，舍去。$\therefore t = 1$。答：$1\ s$后$\triangle BPQ$的面积等于$5\ cm^{2}$。

6. 如图，在△ABC中，∠B = 90°. AB = 6 cm，BC = 3 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1 cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，__________s后△APQ是等腰三角形.
　　　　　　　　　　　　　

答案： $(12 - 6\sqrt{3})$【点拨】设运动时间为$t\ s$，$AP = 2t\ cm$，$BQ = t\ cm$，$BP = (6 - 2t)cm$。$\because \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore \angle APQ ＞ 90^{\circ}$。$\because \triangle APQ$是等腰三角形，$\therefore AP = PQ$，即$2t=\sqrt{(6 - 2t)^{2}+t^{2}}$，解得$t_{1}=12 - 6\sqrt{3}$，$t_{2}=12 + 6\sqrt{3}$(不合题意,舍去)，$\therefore (12 - 6\sqrt{3})\ s$后$\triangle APQ$是等腰三角形。