《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

10. [2024·广东]如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点. 若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为_______.
　　 　　　

答案：
10　[点拨]如图，连接AF,BD.
∵菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，△BEF的面积为4，
∴$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}S_{菱形ABCD}=6$，$S_{\triangle ABF}=2S_{\triangle BEF}=8$.设菱形ABCD中BC边上的高为h，则$\frac{S_{\triangle ABF}}{S_{菱形ABCD}}=\frac{\frac{1}{2}BF\cdot h}{BC\cdot h}$，即$\frac{8}{24}=\frac{\frac{1}{2}BF}{BC}$，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BF}{CF}=2$，
∴$\frac{S_{\triangle ABF}}{S_{\triangle CDF}}=\frac{\frac{1}{2}BF\cdot h}{\frac{1}{2}CF\cdot h}$，$\frac{BF}{CF}=2$，
∴$S_{\triangle CDF}=4$，
∴$S_{阴影}=S_{菱形ABCD}-S_{\triangle ADE}-S_{\triangle BEF}-S_{\triangle CDF}=10$.
　

11. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F. 若DF=$\sqrt{6}$，则BD的长为_______（结果保留根号）.

答案：
$2\sqrt{6}$　[点拨]如图，连接AC,交BD于点H.
　由菱形的性质，得BD = 2DH，
　∠ADC = ∠ABC = 80°，
　∠DCE = 80°，∠DHC = 90°.
　又
∵∠ECM = 30°，
∴∠DCF = 50°.
∵DF⊥CM，
∴∠CFD = 90°，
∴∠CDF = 40°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴DB平分∠ADC，
∴∠HDC = 40° = ∠FDC.
　在△CDH和△CDF中，
　$\begin{cases}\angle CHD=\angle CFD = 90^{\circ}\\\angle HDC=\angle FDC\\DC = DC\end{cases}$
　
∴△CDH≌△CDF，
∴DH = DF = $\sqrt{6}$，
∴DB = 2DH = $2\sqrt{6}$.
　点方法 已知菱形，要求线段的长，通常应用菱形的对角线互相垂直平分并结合勾股定理求解.如果菱形的对角线在图形中没有出现，需先作出对角线.

12. [2024·潍坊模拟]在四边形ABCD中，如果两条对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，则AB²+CD²=AD²+BC².
如图，若四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OA，OD的中点，连接BE，CF并延长交于点P. 若BP²+CP²=80，求菱形ABCD的周长.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
【解】如图，连接EF.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC = AD，AC⊥BD，AD//BC.
∵点E，F分别是OA，OD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF//AD//BC，EF = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$BC，
∴EF是△BCP的中位线，
∴EP = BE = $\frac{1}{2}$BP，CF = FP = $\frac{1}{2}$CP.
　在四边形BCFE中，CE⊥BF，
∴$BE^{2}+CF^{2}=BC^{2}+EF^{2}$，
　即$(\frac{1}{2}BP)^{2}+(\frac{1}{2}CP)^{2}=BC^{2}+(\frac{1}{2}BC)^{2}$，
∴$\frac{1}{4}(BP^{2}+CP^{2})=\frac{5}{4}BC^{2}$.
∵$BP^{2}+CP^{2}=80$，
∴$\frac{1}{4}\times80=\frac{5}{4}BC^{2}$，
∴BC = 4，
∴菱形ABCD的周长 = 4BC = 16.
　

13. [2024·泰安期末]在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF.
(1)如图①，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF.
(2)如图②，当点E不是线段AC的中点，其他条件不变时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.
　

答案：
(1)[证明]
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC.
　又
∵∠ABC = 60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴∠BCA = 60°.
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE = ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，AE = CE.
∵CF = AE，
∴CE = CF.
∴∠F = ∠CEF = $\frac{1}{2}$∠BCA = 30°.
∴∠CBE = ∠F.
∴BE = EF.
(2)[解]成立.证明如下:过点E作EG//BC交AB于点G.由
(1)可知，△ABC是等边三角形，
∴AB = AC，∠ACB = ∠BAC = 60°.
∴∠ECF = 120°.
∵EG//BC，
∴∠AEG = ∠ACB = 60°，∠BGE = 180° - ∠ABC = 120°.
∴△AGE是等边三角形.
∴AG = AE = GE.
∴BG = CE.
　又
∵CF = AE，
∴GE = CF.
　在△BGE和△ECF中，$\begin{cases}BG = EC\\\angle BGE=\angle ECF = 120^{\circ}\\GE = CF\end{cases}$
∴△BGE≌△ECF(SAS).
∴BE = EF，
　即
(1)中的结论成立.