《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 如图，已知∠1 = ∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）

A. $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$
B. $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
C. ∠B = ∠D
D. ∠C = ∠AED

答案： B

2. 在△ABC与△A'B'C'中，有下列条件：①$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$；②$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$；③∠A = ∠A'；④∠C = ∠C'. 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A'B'C'的共有（ ）
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组

答案： C

3. 如图，在△ABC中，∠BCD = ∠A，DE//BC，与△ABC相似的三角形的个数是（ ）

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B

4. 新视角 开放性试题 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上. 添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是__________.(写出一种情况即可)

答案： ∠ADE = ∠C(答案不唯一)

5. [2024·东营模拟] 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 14，AC = 7，D是BC上一点，BD = 8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长.

答案： 【解】
∵DE⊥AB,
∴∠BED = 90°.
又
∵∠C = 90°,
∴∠BED = ∠C.
又
∵∠B = ∠B,
∴△BED∽△BCA.
∴$\frac{BD}{BA}=\frac{DE}{AC}$,
∴$DE=\frac{BD\cdot AC}{AB}=\frac{8\times7}{14}=4$.

6. 易错题 如图，在矩形ABCD中，AB = 4 cm，AD = 10 cm，点E在AD上沿A→D的方向以1 cm/s的速度运动，经过几秒，△ABE与△CDE相似？

答案： 【解】
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A = ∠D = 90°,AB = DC.
若△ABE与△CDE相似,则有△ABE∽△DCE或△ABE∽△DEC两种情况,
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{AE}{DE}$或$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DC}$.
∵AB = 4 cm,AD = 10 cm,
∴DC = 4 cm.
∴$\frac{4}{4}=\frac{AE}{DE}$或$\frac{4}{DE}=\frac{AE}{4}$.
∴$\frac{4}{4}=\frac{AE}{10 - AE}$或$\frac{4}{10 - AE}=\frac{AE}{4}$.
∴AE = 5 cm或AE = 2 cm或AE = 8 cm.
∵点E在AD上沿A→D的方向以1 cm/s的速度运动,
∴易知经过2 s或5 s或8 s,△ABE与△CDE相似.

7. [2024·扬州期末] 如图，在下列四个条件：①∠B = ∠C；②∠ADB = ∠AEC；③AD∶AC = AE∶AB；④PE∶PD = PB∶PC中，随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是（ ）

A. 0.25
B. 0.5
C. 0.75
D. 1

答案： C 【点拨】
∵∠BPE = ∠CPD,
∴①当∠B = ∠C时,△BPE∽△CPD成立,①符合题意;
②当∠ADB = ∠AEC时,易得∠CDP = ∠BEP,
∴△BPE∽△CPD成立,②符合题意;
③当AD : AB = AE : AC,∠A为公共角时,△ACE∽△ABD,
∴∠B = ∠C.
∴△BPE∽△CPD成立.
而当AD : AC = AE : AB时,不能推出△BPE∽△CPD,③不符合题意;
④当PE : PD = PB : PC时,△BPE∽△CPD成立,④符合题意.
综上可知,四个条件中有三个符合题意,
∴随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是$\frac{3}{4}=0.75$.故选C.

8. 如图，若A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，若△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）

A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁

答案： C